2019高考数学专题训练 圆锥曲线中的综合问题 含解析专题限时集训(十)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：60分钟)1(2018北京模拟)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且过点1，22.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为1，直线BF与x轴所成的锐角为2，判断1与2的大小关系并加以证明解(1)由题可得ca22，1a2222b21，a2b2c2，解得a2b1c1.所以椭圆C的方程为x22y21.(2)结论：12，理由如下：由题知直线l1斜率存在，设l1：yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立yk(x1)x22y22，消去y得(12k2)x24k2x2k220，由题易知0恒成立，由根与系数的关系得x1x24k212k2，x1x22k2212k2，因为l2与l1斜率相反且过原点，设l2：ykx，E(x3，y3)，F(x4，y4)，联立ykxx22y22消去y得(12k2)x220，由题易知0恒成立，由根与系数的关系得x3x40，x3x4212k2，因为E，F两点不与A，B重合，所以直线AE，BF存在斜率kAE，kBF，则kAEkBFk(x1x31)(x2x3)(x2x31)(x1x3)(x1x3)(x2x3)k2x1x22x23x1x2(x1x3)(x2x3)k2(2k22)12k22212k24k212k2(x1x3)(x2x3)0，所以直线AE，BF的倾斜角互补，所以12.2(2018枣庄模拟)已知抛物线C：y22px(0p1)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为54.(1)求C的方程；(2)已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点解(1)由题意，得2pm1，即m12p.由抛物线的定义，得|PF|mp212pp2.由题意，12pp254，解得p12，或p2(舍去)所以C的方程为y2x.(2)证明：设直线PA的斜率为k(显然k0)，则直线PA的方程为y1k(x1)，则ykx1k.由ykx1ky2x消去y并整理得k2x22k(1k)1x(1k)20.设A(x1，y1)，由根与系数的关系，得1x1(1k)2k2，即x1(1k)2k2.y1kx11kk(1k)2k21k11k.所以A(1k)2k2，11k.由题意，直线PB的斜率为1k.同理可得B11k21k2，111k，即B(k1)2，k1)若直线l的斜率不存在，则(1k)2k2(k1)2.解得k1，或k1.当k1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当k1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符所以，直线l的斜率必存在直线l的方程为y(k1)k(k1)2x(k1)2，即yk(k1)2x1.所以直线l过定点(0，1)3(2018郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x1相切(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B、C两点，求ABC面积的最大值解(1)由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l距离，所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故：曲线G的方程是y24x.(2)设直线l的方程为yxm，其中3mb0)的离心率与双曲线x24y2121的离心率互为倒数，且过点P1，32.(1)求椭圆C的方程；(2)过P作两条直线l1，l2与圆(x1)2y2r2(0r32)相切且分别交椭圆于M、N两点求证：直线MN的斜率为定值；求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)解(1)可得e12，设椭圆的半焦距为c，所以a2c，因为C过点P1，32，所以1a294b21，又c2b2a2，解得a2，b3，所以椭圆方程为x24y231.(2)证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于直线l1，l2与圆(x1)2y2r2(0r32)相切，则有k1k2，直线l1的方程为y32k1(x1)，联立方程组yk1xk132，x24y231，消去y，得x2(4k213)k1(128k1)x(32k1)2120，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x11k1(8k112)4k213，同理，当l2与椭圆相交时，x21k1(8k112)4k213，所以x1x224k14k213，而y1y2k1(x1x2)2k112k14k213，所以直线MN的斜率ky1y2x1x212.设直线MN的方程为y12xm，联立方程组y12xm，x24y231，消去y得x2mxm230，所以|MN|1122m24(m23)1524m2，原点O到直线的距离d|2m|5，OMN面积为S121524m2|2m|532m2(4m2)32m24m223，当且仅当m22时取得等号经检验，存在r(0r32)，使得过点P1，32的两条直线与圆(x1)2y2r2相切，且与椭圆有两个交点M，N.所以OMN面积的最大值为3.