三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论21、外心22、内心33、垂心54、重心65、外心与内心86、重心与内心97、外心与垂心98、外心与重心119、垂心与内心1110、垂心、重心、外心11旁心12二、“四心”的联想131、由内心、重心性质产生的联想132、重心的巧用143、三角形“四心”与一组面积公式16三角形各心间的联系20与三角形的心有关的几何命题的证明21三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)A=。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心已知：ABC中，XX，YY，ZZ分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX，YY，ZZ相交于一点(图3111)分析先证XX，YY交于一点O，再证O点必在ZZ上即可证因为XX，YY分别是ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX，YY必相交于一点，设为O(否则，XXYY，那么C必等于180，这是不可能的)因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的垂直平分线ZZ上，所以XX，YY，ZZ相交于一点说明由于O点与ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心例1、如图9-1所示，在ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。分析一、O是外心，作ABC的外接圆O，并作OEAB于E，OFAC于F，连接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，从而RtOPFRtOQE，于是P=Q，从而O、A、P、Q四点共圆。分析二、延长BA至G，使AG=AP，连接OP、OA、OG、OQ，并作OEAB于E(图略)。利用PAOPGO和QEOGEO也可证得结论。例2、如图9-2所示，在ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为ABC 的内心，求证：MPN=A+B。 分析、连接PA、PB、PC及PM、PN。由已知易证APCAPN，BPCBPM。从而PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC。故P为CMN的外心，此时有MPN=2MCN。而CAN=90A，BCM=90B，故ACN+BCM=180(A+B)，即 MCN+ACB=180(A+B)，则MCN=(180ACB)(A+B) = (A+B)。故MPN=2MCN=A+B。例3、AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQAB。分析、延长EP到K，使PK=PE，连KF、AE、EF、BF，直线PQ交AB于H(图9-3)。因EQF=AQB=(901)+(90+2)=ABF+BAE=QFP+QEP，又由PK=PE=PF知K=PFK，故EQF+K=QFK+QEK=180，从而E、Q、F、K四点共圆。由PK=PF=PE知，P为EFK的外心，显然PQ=PE=PF。于是1+AQH=1+PQF=1+PFQ=1+AFP=1+ABF=90。由此知QHAH，即PQAB。2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)A的平分线和ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为BCI的外心)。(3)BIC=90+A，CIA=90+B，AIB=90+C。例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是A，B，C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3110)证因为AX，BY是A，B的平分线，所以AX，BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平行，则BAX+YBA=180，这是不可能的)，所以I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，所以I与AC，BC边等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一点说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心例1、如图9-4所示，在ABC中，AB=AC，有一个圆内切于ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是ABC的内心。分析、设小圆圆心为，与ABC的外接圆切于D，连A，显然APQ，且ABC为等腰三角形，所以A过ABC的外接圆，D在A的延长线上，从而O为ABC的顶角BAC的平分线的点，下面只需证OB平分ABC。为此，连接OB、PD、QD，由对称性易知，OD平分PDQ，而APQ=PDQ，PQBC，故APQ=ABC，PDQ=ABC，由P、B、D、O四点共圆得PBO=PDO=PDQ。所以PBO=ABC。于是O为ABC的内心。说明：本题还可证明O到ABC的三边距离相等，得到O为ABC的内心。例2、如图9-5所示，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆。分析、如图，连接OB、OI、OC，由O是外心知ABC=2IBC。由I是内心知ABC=2IBC。从而IOC=ABC。同理IOB=ACB。而A+ABC+ACB=180，故BOC+A=180，于是O、B、A、C四点共圆。例3、在圆内接四边形ABCD中，顺次取ABD，ABC，CDB、CDA的内心。求证：四边形是一个矩形。分析、顺次连接(图9-6)。则：AO1B=90+ADB，AO2B=90+ACB。但ADB=ACB，AO1B=AO2B，从而A、B、O2、O1四点共圆，则AO1O2=180ABO2=180-ABC。同理有：AO1O4=180ADC。故AO1O2+AO1O4=360(ABC+ADC)=270，故O2O1O4=90。同理有O1O2O3=90，O2O3O4=90。因此四边形O1O2O3O4J 是矩形。3ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交AC于E求证：DE=DB+EC3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)ABH的垂心为C，BHC的垂心为A，ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。例4证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心已知：如图3114，ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点分析要证AX，BY，CZ相交于一点，可以利用前面的证明方法去证，也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形ABC，使AX，BY，CZ恰好是ABC的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到ABC(图3114)由于四边形ABAC、四边形ACBC、四边形ABCB均为平行四边形，所以AC=BC=AB由于AXBC于X，且BCBC，所以AXBC于A，那么AX即为BC之垂直平分线同理，BY，CZ分别为AC，AB的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H(例2)例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积的值变大？变小？还是不变？证明你的结论。分析、构造以垂心为顶点的菱形HBGC(图9-7)，并借助于四点共圆是完成本题的一条捷径。延长HD至G，使DG=HD，连BH、CH、BG、CG，易证四边形HBGC是菱形，则3=1。因H是垂心，故A、B、D、E四点共圆，1=2，从而2=3，A、B、G、C四点共圆，ADDG=BDCD，又DG=HG，故ADHD=。从而=ADBCHDBC=(定值)。例2、设H为锐角ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC=a，AC=b，AB=c，则AHAD+BHBE+CHCF等于( )(A)(ab+bc+ca)； (B)；(C)(ab+bc+ca)； (D)。分析、因H为ABC垂心，故H、D、C、E四点共圆，从而AHAD=ACAE=ACABcosBAE=。同理BHBE=，CHCF=。故AHAD+BHBE+CHCF=。例3、求证：锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的内心。分析、由性质不难得到证明。由本例结论，可得到下述命题的简捷证明：已知ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求证：。例4、如图9-8所示，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O和O1，求证：O与O1的半径相等。分析、过A作O和O1的直径AP、AQ，连接PB、QB，则ABP=ABQ=90。故P、B、Q三点共线。因H是ABC的垂心，故D、C、E、H四点共圆，AHE=C。而AHE=Q，C=P，故P=Q，AP=AQ。因此O与O1的半径相等。说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质：若H是ABC的垂心，则ABH=BCH=CAH=ABC。4设G为ABC的垂心，D，E分别为AB，AC边的中点，如果SABC=1，那么SGDE=？4、重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线必平分对边。(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。(3)。例3证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心重心到顶点与到对边中点的距离之比为21已知：A