让数学课堂充满生命成长的智慧鸡兔同笼课堂教学实录与评析执教：山东省茌平县教育局小学教研室 何仲秋评析：山东省聊城市小学教学研究室 冯明才教学内容：义务教育课程标准实验教科书六级上册P112114 （人教版）。教学目标：1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。2、在解决“鸡兔同笼”的活动中，尝试通过列表枚举、假设、列方程等方法解决鸡兔同笼问题。锻炼学生的思维能力，体验假设、建模等数学思想方法。3、培养学生的合作意识，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。教学过程：一、课前交流：师：同学们好！认识我吗？生：不认识。师：是的，刚刚见面，彼此并不认识，想认识我吗？生：想认识。师：自我介绍一下，本人姓何，八月十五那天出生的，猜猜我叫什么？生：何月。师：不错的名字。不过我不叫这个名字。继续猜。生：何仲秋师：您太有才了，老师的确是叫这个名字。现在大家知道我叫什么了，您还想知道什么？生：您来自哪里。师：我是来自聊城的一位数学老师。生：您多大了？师：反正大家挺会猜的，还是猜吧。（板书：猜测）生：35岁。师：哦，35岁，这是他猜的。猜的对不对呢？我们需要怎么样？生：验证。师：如果我告诉您35岁，低了，您怎么办？生：往上猜，我猜是40岁。师：还低。生：45岁。师：又高了。生：43岁。师：还高。生：42岁。师：还高一点。生：41岁。师：正确。刚才同学们先是进行了猜测，再根据老师的话进行验证，然后根据老师反馈给您的信息再猜，如果我告诉您低了，您往高处猜，如果告诉高了，您再往低处猜，这个过程叫什么呢？我们可以叫调整。师：同学们，您有没有发觉，一种解决问题的方法和策略就在刚才的对话中被我们不知不觉地掌握了。猜测是一种很好的解决问题的办法，如果能够有根据地进行猜测就更好了。形成板书：猜测验证调整猜测验证调整是一套很好的策略，这节课咱先用这个策略来解决一个问题。好不好？上课！【评析：课前交流的互动环节看似不经意联络师生感情的小游戏，既拉近了师生间的关系，又把本节课所要解决问题的重要教学思想蕴于其中，既调动了学生学习本节课的热情，又不留痕迹的为上课解决问题埋下伏笔，可谓一石二鸟】二、解读问题。师：看何老师给大家带来了什么问题呢？（媒体出示课题：鸡兔同笼）师： “鸡兔同笼”是什么意思啊？生：就是把鸡和兔关在一个笼子里。师：不错，大约1500年前，我国古代数学数学名著孙子算经中记载了这样一个题目：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？如果用现在话说就是：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问鸡和兔各有多少只？师：为了说起来方便，咱们“足”翻译成“腿”，这样改不会影响题目中的数量关系。师：请大家仔细看一看，题目中有那些数学信息？生1：鸡和兔共有35个头，94条腿。师：除此之外还有什么信息啊？生2：还有1只鸡有2条腿，1只兔有4条腿。师：谢谢您！您提醒了大家这儿还隐藏了的两条信息。【评析：孙子算经中的原题，简洁明了，清晰流畅，读来琅琅上口，易于激起学生对数学学习的兴趣，古题今译，便于学生理解数量关系，把“足”译成“腿”，避免了量词的重复和混淆。当学生在分析问题的过程中说出隐藏的条件时，更是给予了充分的赏识。】三解决问题（一）枚举法1.猜测枚举。师：要想知道鸡和兔各有多少只，这个问题您想怎么解决？生：猜测。生：计算来解决生；用假设法生：推算。师：不错的方法。师：怎么猜？随便猜吗？我猜鸡20只，兔30只，行不行？生：不行。师：为什么不行？生：鸡和兔的只数加起来应该是35才行。师：说的对。那您先猜一个。鸡多少只？兔多少只？ 生：20只鸡，15只兔。生2：15只鸡，20只兔。生3：30只鸡，5只兔。师：要知道猜的对不对，需要怎么样？生：验证。师：怎样验证？生：根据猜测的鸡和兔的只数算算腿的条数，看是不是等于94。师：说的太好了！您听明白了吗？他怎么说啊？生：他说把鸡和兔的腿的条数加起来看是不是等于94.师：如果不是呢？说明什么？生：猜错了。师：猜错了怎么办？生：调整。【评析：假设从猜测开始，教师的随意猜测导致的错误结论，引发学生的思考，猜测不是随意的，解决问题需要有根据的猜测。】师：怎样调整呢？您能不能用猜的方法找到答案？生：能师：现在每人手里都有这样的一张表格，把您猜的答案写在第一行的空格然后算一算，和94比一比，如果不对再继续猜，看谁最先找到答案。（学生活动）2.展示交流师：谁愿意上来把您研究的结果拿出来和大家一起分享？生1：开始我先猜鸡20只，兔15只。一共有100条腿，然后再调整的。师：100条比94条怎么样了？比实际多了？您怎么调啊？生：调少。师：把谁调少？把谁调多？生：把兔调少，把鸡调多。师：在调的过程当中，您有没有发现，生：减少2条。师：反过来呢？如果腿少了您怎么调？生：把兔调多，同时把鸡调少。师：每调一次腿的条数会怎么变化？生：腿的总条数会增加2条。师：谁调的比她还快，一下就找到答案了。生2：一开始我乱猜鸡有25只，兔有10只，算出来后是90条腿，发现比94少了4条，我就开始直接增加了两只兔同时减少了两只鸡。正好是94。师：这位同学先猜鸡25只，兔10只，当他发现算出的腿的条数比94少了4之后，马上就把兔的只数增加了2只，同时把鸡的只数减少了两只。真是太聪明了！掌声送给他。3.小结：根据鸡和兔的总只数，列举出一些可能，然后题目的条件进行适当地调整，总能找到一种情况符合题目要求。我们把这种方法叫做枚举法。【评析：借助表格放手让学生利用猜测验证调整的策略独立解决问题，在并报交流环节，抓住两个关键问题，一是当算出的腿的条数比实际多（少）了，怎么调？二是每减少一只兔同时增加一只鸡，腿的条数怎么变化？学生在自主探索的基础上掌握了调整技巧，锻炼了思维能力。】（二）假设法。师：老师还一个非常有趣的解法，您想不想知道？生：想。师：鸡和兔一共多少只？共有多少条腿？生：一共有35只，94条腿。师：现在我一声号令，让所有的兔子都站起来（每只兔子都两只脚着地）！会是什么情况？生1：每只兔子会减少两条腿。生2：兔子和鸡都一样了，都只有2条腿了。师：如果所有的兔子都两只脚着地的话，我们再数一数一共会有多少条腿？生：70条师：这70条腿再和实际的94条比一比的话少了多少条？生：24条。师：为什么会少这24条腿？是谁的？生：兔子的。师：这是兔子的什么腿。生：前腿。师：这些腿到哪儿去了？生：抬起来了。师：24只脚是多少只兔子前腿？生：12只。师：您怎么算的？生：242.师：刚才的过程您能用算式表示出来吗？如果综合算式列不了，可以分步计算，第一步第二步第三步各是怎样算的啊？（学生列式）生：35270（条）947024（条） 24212（只） 351223（只）答：鸡有23只，兔有12只。师：刚才让所有的兔子都站起来也就相当于把所有的只数都看成了什么？如果把所有的只数都看成兔呢？会是什么情况啊？生：腿的条数就会比实际多。因为每只鸡就会加上两条腿。师：大家能不能用算式表示出这个过程呢？（学生思考并列式）展示：354140 1409446 46223 352312师：为什么会有这个46？生：就是鸡多出来的腿。师：每只鸡多算了几条腿？多少只鸡会多算出46条呢？生：把所有的都看成兔，每只鸡就会多算2条腿，23只鸡会多出46条腿。师：把所的有只数都看成鸡或兔，算出腿的总条数再和实际的比较一下，通过分析和计算，得出问题的答案。这35只是不是真的全都是鸡？生：不是。师：是不是全都是兔呢？生：也不是。师：为了解决问题我们可以把鸡看成兔，也可以把兔看成鸡，这种方法可以叫作假设法。【评析：“一声号令，让所有的兔子都站起来。”使难以掌握的假设法变得如此简单。相信在坐的每一个学生当听到这句话的时候，他的脑海里展现的会是一幅可爱的小兔子们前腿抬起来的生动形象的画面，这个画面让问题的数量关系变得清晰、简单。学生易于理解和接受。】（三）方程法师：除了枚举和假设还有其他的方法吗？生：方程。师：如果我假设兔子是X只，那么鸡的只数怎样表示？生：35X师：腿的总条数该用一个怎样的式子表示？生：4X+（35X）294师：会不会解呢？试着解一解。（引导学生列方程并解答问题）【评析：列方程解决问题是学生已有的知识经验，对于鸡兔同笼问题，学生根据数量关系列出方程是没有太大困难的，但是根据学生的已有知识基础，解决起来比较困难，所以，教师把这一方法学习的重点放在了分析数量关系和列方程上，随着学生后续的学习，利用方程模型将成为学生解决实际问题的重要方法。】四方法对比，感悟假设。师：解决鸡兔同笼的问题我们都用了哪些方法？这些解法各有各的特点，但是它们有共同的地方吗？生1：他们都没有直接先去算，而是先假设的。生2：都有“假设”的意思师：您看得很准，一下就发现了它们间的本质联系。在数学上，假设是一种重要的思想方法。师：这三种方法您喜欢哪一种？生：师：最基本的方法是哪种？枚举。（当其他方法不会用的时候）【评析：三种方法进行对比，揭示基内在联系与本质就是“假设”，无疑是本课的“点睛”之举。】五质疑引思，体验建模师：“鸡兔同笼”问题您学会了吗？还有什么疑问吗？生：没有师：老师有一个疑问，在生活中您见过把鸡和兔放在同一个笼子里养的吗？即使放在一起养，有没有必要从上面数数一共有多少头，再从下面数数共有多少腿，然后再算算各有多少只？生：（笑）没有。师：这个问题是不是有点无聊？生：是师：可就这样一个看似无聊的问题，中国人在研究，外国人也在研究。师：（出示：龟鹤同游，共有40个头，112只脚，龟、鹤各有多少只？日本）日本人说的“龟鹤同游”和我们说的“鸡兔同笼”相类似吗？师：不仅中国古人在研究，现代人还在研究，在抗日战争时期,流行过这样一首歌谣：一队鬼子一队狗，两队并成一队走，数数头有80个，却有200条腿走，请您仔细算一算，多少鬼子多少狗？师：从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”再到“鬼子与狗的问题”，它们有什么相似的地方吗？（仔细分析一下这几个题的结构）生：它们的结构都是相同的。师：不错，这几个问题的结构都是相同的。现在看来，我们研究鸡兔同笼问题的价值不在于这个问题的本身，而是在哪里？生：学会一种解决问题的方法。师：不错，研究这个问题的目的在于建立这样一个模型，从而帮助大家掌握解决问题的方法和策略（板书：模型）【评析：风趣的问题，幽默的语言引发了学生的思考，从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”再到“鬼子与狗的问题”，借助结构分析的方法提炼数学的教育的精髓，解决一个问题的价值不在于这个问题的本身，更重要的是培养学生的思维能力，提升数学思想方法。只有把握了数学思想方法，数学教育才是有生命的教育，孩子的生命的成长才是理性的、智慧的。】六拓展与应用。师：看下面的问题是不是符合这个模型呢？谁相当于鸡？谁又相当于兔呢？王丽有20张5元和2元的人民币，一共是82元。5元和2元的人民币各有多少张？ （5元的14张，2元的6张）七总结与提升。师：这节课我们研究了什么问题？