2021年广州市一模理科数学试题及答案(WORD版)数学（理科）试题A 第 1 页 共 18 页试卷类型：A2021年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2021.3本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 ()()22221211236n n n n +=()*n N 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A 2-B 2 C D 22在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则c b为A 第 2 A 2sin CB 2cos BC 2sin BD 2cos C 3圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ()()22211x y -+-= B ()()22121x y +-= C ()()22211x y +-= D ()()22121x y -+= 4若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ()2,2-B ()(),22,-+C (),22,-+D 2,2- 5某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图样本数据分组为)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在80,100范围内的数据16个，则其中分数在90,100范围内的样本数据有A 5个B 6个C 8个D 10个 6已知集合32A x x x ?=?-?Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A 2 B 3 C 4D 57设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是 A =a b B a b C =a b ()0 D a b 8设a ，b ，m 为整数（0m ），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m 若0122202120212021C C 2C 2C 2a =+?+?+? ，()mod10a b ，则b 的值可以是A 2021B 2021C 2021D 2021 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（913题）9若不等式1x a -13x x )*k N的值为 11一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 侧（左）视图图1分数数学（理科）试题A 第 3 页 共 18 页 12设为锐角，若3cos 65?+= ?，则sin 12?-= ? 13在数列n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列n a 的前n 项和，则2021S = （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a -=与曲线2cos 4sin =-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为 15（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC 的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点03?- ?， （1）求实数a 的值；（2）设2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间 17（本小题满分12分）P图4数学（理科）试题A 第 4 页 共 18 页甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立 （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）18（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的 中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB = （1）求证：11EF AC ；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值 19（本小题满分14分）已知等差数列n a 的首项为10，公差为2，等比数列n b 的首项为1，公比为2，*n N （1）求数列n a 与n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S （注：min ,a b 表示a 与b 的最小值） 20（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF = （1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上C1C 1D ABD EF 1A1B图5数学（理科）试题A 第 5 页 共 18 页21（本小题满分14分）已知函数()()221e xf x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间,s t ()s t 同区间”试问函数()f x 在()1,+上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由2021年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题，满分40分 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题 三、解答题：本大题共6小题，满分80分 16（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点03?- ?，所以03f ?-= ?数学（理科）试题A 第 6 页 共 18 页即sin cos 033a ?-+-= ? ?即022a-+=解得a = （2）方法1：由（1）得()sin f x x x =所以2()()2g x f x =-()2sin 2x x =- 22sin cos 3cos 2x x x x =+-2cos 2x x =+122cos 222x x ?=+ ? ? 2sin 2cos cos 2sin 66x x ?=+ ?2sin 26x ?=+ ?所以()g x 的最小正周期为22= 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ?-+?()k Z ， 所以当222262k x k -+()k Z 时，函数()g x 单调递增， 即36k x k -+()k Z 时，函数()g x 单调递增所以函数()g x 的单调递增区间为,36k k ?-+?()k Z 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ?=+ ?数学（理科）试题A 第 7 页 共 18 页2sin 3x ?=+ ?所以2()()2g x f x =-22sin 23x ?=+- ?24sin 23x ?=+- ?22cos 23x ?=-+ ?分所以函数()g x 的最小正周期为22=分 因为函数cos y x =的单调递减区间为2,2k k +()k Z ，所以当22223k x k +()k Z 时，函数()g x 单调递增 即36k x k -+（k Z ）时，函数()g x 单调递增所以函数()g x 的单调递增区间为,36k k ?-+?()k Z 17（本小题满分1）（本小题主要考查相