数学人教B选修2-1第三章3.2.4二面角及其度量1理解斜线和平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性2会求直线与平面所成的角3掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角4掌握求二面角大小的基本方法1直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_；(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_；(3)斜线和它在平面内的_所成的角叫做斜线和平面_(或斜线和平面的夹角)；(4)直线与平面的夹角的范围是.【做一做1】直线l的一个方向向量与平面的法向量的夹角为135，则直线l与平面的夹角为()A135 B45C75 D以上均错2最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cos _，如图，是OA与OM所成的角，1是OA与OB所成的角，2是OB与OM所成的角(2)最小角定理：斜线和它在平面内的_所成的角，是斜线和这个平面内_中最小的角【做一做2】一条直线与平面的夹角为30，则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为()A30 B60C90 D1503二面角的定义及表示方法(1)平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做_(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做_；这条直线叫做二面角的_，每个半平面叫做二面角的_棱为l，两个面分别为，的二面角，记作_若A，B，二面角也可以记作_(3)二面角的平面角在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做_(4)二面角的范围是0，(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形(2)符号l的含义是棱为l，两个面分别为，的二面角(3)两个平面相交，构成四个二面角【做一做3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角AB1CA1的平面角的正切值为()A1 BC D4设m1，m2，则角m1，m2与二面角l_.【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3，6,5)，则这个二面角的余弦值是()A0 B C D1如何理解直线与平面所成的角？剖析：此概念应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线与一个平面垂直时，直线与平面的夹角为90；(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0.2如何用向量求线面角？剖析：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.3如何理解二面角的平面角？二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关4如何求二面角？(1)作出二面角的平面角；(2)利用法向量的夹角题型一 用定义求直线与平面所成的角【例1】已知BOC在平面内，OA是平面的一条斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，求OA与平面所成角的大小分析：解答本题可找出点A在平面内的射影位置，作出线面角，然后解三角形求出线面角反思：用定义法求直线与平面所成角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影题型二 向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC2BC，A1BB1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值分析：因为是直三棱柱，所以本题可建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解反思：利用向量法求斜线与平面的夹角优势在于不用找角，只需建立适当的坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再用公式求解即可但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系题型三 定义法求二面角的大小【例3】如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，ADDCBCa，ABa.(1)求证：平面ABC垂直于平面ADC；(2)求二面角CABD的大小分析：(1)可利用面面垂直的判定定理证明；(2)利用平面ABC垂直于平面ADC，作出所求二面角的平面角，然后解三角形求角反思：所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解作出二面角的平面角常用的方法有：找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线；在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线题型四 向量法求二面角的大小【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角A1BDC1的大小分析：本题可建立空间直角坐标系，分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量，然后通过法向量的夹角获得二面角的大小反思：向量法求二面角有如下方法：(1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量，转化为这两个向量的夹角，但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上(2)建空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量m，n，根据cos 求得锐角，若二面角为锐角，则为，若二面角为钝角，则为.1正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A B C D2正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角是()Aarctan BarctanCarctan Darctan3若BC在平面内，斜线AB与平面所成的角，ABC，AA平面，垂足为A，ABC，那么()Acos cos cos Bsin sin sin Ccos cos cos Dcos cos cos 4已知正四面体ABCD，则二面角ABCD的余弦值为()A B C D5设a(0,1,1)，b(1,0,1)分别是平面，的两个法向量，则锐二面角l的大小是()A45 B90 C60 D120答案：基础知识梳理1(1)90(2)0(3)射影所成的角【做一做1】B直线与平面的夹角的范围是，所以直线l与平面的夹角为18013545.2(1)cos 1cos 2(2)射影所有直线所成角【做一做2】A3(1)半平面(2)二面角棱面lAlB(3)二面角l的平面角【做一做3】B设A1D，B1C的中点分别为E，F，可知AFE是所求二面角的平面角在RtAEF中，tanAFE.4相等或互补【做一做4】A432(6)050，二面角的两个半平面的法向量垂直故这个二面角的余弦值是0.典型例题领悟【例1】解：OAOBOCa，AOBAOC60，ABACa.BCa，AB2AC2BC2，ABC为等腰直角三角形同理，BOC也为等腰直角三角形过点A作AH于点H，连OH，则OH为AO在平面内的射影，AOH为OA与平面所成的角AOABAC，OHBHCH，H为BOC的外心，点H在BC上，且为BC的中点在RtAOH中，AHa，sinAOH，AOH45，OA与平面所成角的大小为45.【例2】解：取C为原点，为x，y，z轴的正方向，建立直角坐标系Cxyz，设|BC|2，|CC1|a，则A(4,0,0)，A1(4,0，a)，B(0,2,0)，B1(0,2，a)A1BB1C，0，a2.设n(x，y，z)是平面A1ABB1的一个法向量，则n4x2y0.n2z0，n取(1,2,0)，(0,2,2)，sin |cosn，|，B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值为.【例3】解：(1)证明：因为AD平面BCD，所以ADDB，ADBC.又ADa，ABa，所以DBa.又DCBCa，因此BD2CD2BC2，即DCB90，所以DCBC，因此BC平面ADC.又BC在平面ABC内，所以平面ABC垂直于平面ADC.(2)作DFAB于点F，DEAC于点E，连EF，因为平面ABC垂直于平面ADC，因此DE平面ABC，AB平面DEF，所以EFAB，则DFE为二面角CABD的平面角，在直角三角形DEF中，DEF90，DFa，DEa，sinDFE，所以DFE60，故二面角CABD的大小为60.【例4】解：建立空间直角坐标系Dxyz，则(1,1,0)，(0,1,1)，设平面C1BD的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10，即xy0，yz0，令x1，则y1，z1，所以n1(1，1,1)是平面C1BD的一个法向量同理，得n2(1,1,1)是平面A1BD的一个法向量因为|n1|，|n2|，所以cosn1，n2，由题知二面角的大小为arccos.随堂练习巩固1C设BC中点为E，则OAE就是AO与平面ABCD所成角2B设底面正三角形BCD中心为O，则ACO就是侧棱AC与底面BCD所成的角3A利用公式cos cos 1cos 2求解4B如图，设BC的中点为E，底面正三角形BCD的中心为O，则AEO就是二面角ABCD的平面角在RtAOE中，AEAB，OEAB，则cosAEO.5C设锐二面角l的大小是，cos ，故60.