南宁三中2020届高三第二次模拟考试数学试题（理科）全卷满分150分 考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则（ ）A. B. C. D. 2已知复数（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 3甲、乙两人答竞赛题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中恰有一人答对的概率为（ ）A.B.C.D. 4设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 5如图所示的流程图，最后输出的的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 66的展开式中的系数为（ ）A. B. 84 C. D. 2807若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D. 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（ ）A.B.C.D. 9已知函数，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A.B.C.D. 10已知双曲线，若正方形四个顶点在双曲线T上，且的中点为双曲线T的两个焦点，则双曲线T的离心率为（ ）A. B. C. D. 11如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（ ）A. B. C.1D. -112已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量与的夹角为，且，则_.14若实数，满足约束条件，则的最小值为_15已知长轴长为，短轴长为的椭圆的面积为，则=_。16如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则_. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17（本题满分12分）已知数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18（本题满分12分）某校高一200名学生的期中考试物理成绩服从正态分布，化学成绩的频率分布直方图如下：（I）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试物理、化学优秀的人数大约各多少人？（II）如果物理和化学两科都优秀的共有4人，从（I）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望附：若，则，19（本题满分12分）如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，分别是棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程. 21（本题满分12分）已知（1）若在0,1上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，试分析的根的个数.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分22（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值23（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为3.（1）求的值；（2）求证：.南宁三中2020届高三第二次模拟考试数学试题（理科）参考答案1B【解析】因为，,所以，故选B.2C【解析】由题意，所以，故选C.3A【解析】第一种：甲答对，乙答错，此时概率为；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为.综上，两人中恰有一人答对的概率为.故选A.4A【解析】由题意15，故选A5C【解析】执行程序有：n=1，n=n+1=2，此时，2n=4，n2=4，故有n=n+1=3，此时2n=8，n2=9，故有n=n+1=4，此时2n=16，n2=16，故有n=n+1=5，此时2n=32，n2=25，即满足2nn2故输出n的值5故选：C6C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.7A【解析】因为，所以，则该切线的斜率，则.故选A8B【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，即这五个点都是棱长为的正方体的顶点，所以该几何体的外接球就是对应正方体的外接球，所以外接球的直径是正方体的对角线为，所以半径，从而求的球的体积为，故选B.9D【解析】,且，在区间上有最小值，无最大值，直线为的一条对称轴，又0，当时,=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.10C【解析】由题可得：点，所以正方形的边长为，又焦距为2c也是正方形的边长，所以，11A【解析】设正方形的边长为2，以点为原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，所以，所以，解得，所以，故选A.12A131【解析】，向量与的夹角为，0，解得，故答案为.142【解析】作出可行域如图所示，设，则表示可行域内的点与原点的距离的平方由图知，所以故答案为：2.15【解析】设，则对应的曲线为椭圆的上半部分，对应的面积，根据积分的运算法则可得，故答案为.16【解析】由已知，即=0，=0，=45，CD=。17【解析】（1）当时，解得，所以，当时，当时，所以，（2）由（1）得，所以，两式相减得，即，整理得.18【解析】（I）物理成绩优秀的概率为，化学成绩优秀的概率为，物理成绩优秀人数为人，化学成绩优秀人数为人（II）物理化学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，所有可能的取值为0，1，2，3，的分布列为数学期望19【解析】(1)证明：因为，是棱的中点，所以又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，所以平面，又平面，则因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，即，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，所以.所以锐二面角的余弦值为.20.（1）依题意得解得椭圆的方程为. （2）由消去整理得，其中设，则，又原点到直线的距离.，令，则，当时，取得最大值，且，此时，即.直线的方程为的面积取最大值时直线的方程为.21【解析】（1）由于在上递增得在上恒成立即在上恒成立令，则故在上递减，于是，故有（2）上递增，又，故唯一，使得上递减，在上递增. .令则上递减 .当时，由递减知故即从而有上恒成立. 故时，无实根.22【解析】（1）将方程消去参数得，曲线的普通方程为，将代入上式可得，曲线的极坐标方程为：（2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，23【解析】(1)所以,即(2)由，则原式等价为：，即,而,当且仅当，即时，“=”成立，故原不等式成立。