姓 名：学 号：得 分： 教师签名： 离散数学形成性考核作业4离散数学综合练习书面作业要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传一、公式翻译题 1请将语句“小王去上课，小李也去上课”翻译成命题公式 设P:小王去上课。 Q:小李去上课。则命题公式PQ 2请将语句“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式设P:他去旅游。Q:他有时间。则命题公式PQ 3请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式设A(x):x是人 B(x):去工作 则谓词公式x(A(x)B(x) 4请将语句“所有人都努力学习”翻译成谓词公式设A(x):x是人 B(x):努力学习 则谓词公式x(A(x)B(x)二、计算题1设A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）(A-B)； （2）(AB)； （3）AB解:(1)A-B=1,2(2) AB=1,2 (3)AB=,2设A=1，2，3，4，5，R=|xA，yA且x+y4，S=|xA，yA且x+y0，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R) 解: R=,S=空集RS=空集SR=空集 R-1=,S-1=空集 r(S)= s(R)= 3设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6(1) 写出关系R的表示式； (2) 画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元 答：(1)R= (2)R的哈斯图为(3)集合B没有最大元,最小元是24设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形解：（1）oooov1ov5v2v3v4(2) 邻接矩阵为(3) v1结点度数为1，v2结点度数为2，v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2(4) 补图图形为oooov1ov5v2v3v45图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值解：（1）G的图形如下：（2）写出G的邻接矩阵（3）G权最小的生成树及其权值6设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权35251071731173465权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=1317 求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式答：PQR PQR析取范式、合取范式、主合取范式都为 PQR主析取范式为（ P Q R）（ P Q R）（ PQ R）（ P Q R）（P QR）（PQ R）（ PQ R）8设谓词公式（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元（1） 量词 x的辖域为 量词 z的辖域为Q(y,x,z)量词 y的辖域为R(y,z)（2）P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元 R(y,z)中的z是自由变元，y是约束变元 9设个体域为D=a1, a2，求谓词公式(y)($x)P(x,y)消去量词后的等值式；答：(y)($x)P(x,y) = $xP(x, a1) $ xP(x, a2)=( P(a1, a1) P(a2, a1) ( P(a1, a2) P(a1, a2)三、证明题 1对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C答：(1)对于任意AB,其中aA,bB,因为AB= AC,必有AC,其中b C因此BC(2)同理,对于任意AC,其中,aA,cC,因为AB= AC必有AB,其中cB,因此CB有(1)(2)得B=C2试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则RS也是集合A上的自反关系答：若R与S是集合A上的自反关系,则任意xA,R,S,从而RS,注意x是A的任意元素,所以RS也是集合A上的自反关系.3设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图 4试证明 (P(QR)PQ与 (PQ)等价证明：(P(QR)PQ(P (QR) PQ (P QR) PQ (PP Q) ( QPQ) (RPQ) (PQ) (PQ) (PQR) PQ (吸收律) (PQ) （摩根律）5试证明：(AB)(BC)C A证明：(AB)(BC)C A(AB)(BC)C (AB)（(BC)（CC)） (AB)（(BC)0） (AB)(BC) （A（BC) ）（B（BC） (ABC) 0 ABC （ABC）故由左边不可推出右边 A