第四节 数列求和1公式法(1)等差数列an的前n项和Snna1.推导方法：倒序相加法(2)等比数列an的前n项和Sn推导方法：乘公比，错位相减法(3)一些常见的数列的前n项和：123n；2462nn(n1)；1352n1.2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和常用的裂项公式有：；.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解小题体验1等比数列1,2,4,8，中从第5项到第10项的和为_解析：由a11，a22，得q2，S101 023，S415，S10S41 008.答案：1 0082数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于_答案：n213已知数列的通项公式an，则该数列的前_项之和等于9.解析：由题意知，an，所以Sn(1)()()19，解得n99.答案：991直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项小题纠偏1设f(n)2242721023n10(nN*)，则f(3)_.答案：(871)2已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_.答案：(n1)2n123求和：_.解析：原式1.答案：1题组练透1(2019南师大附中月考)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是_日解析：易知每日织布数量构成一个等差数列，设此数列为，则a15，an1，Sn90，所以90，解得n30.答案：302(2018无锡期末)设公比不为1的等比数列an满足a1a2a3，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的前4项和为_解析：设数列an的公比为q(q1)由等比数列的性质可得a1a2a3a，所以a2.因为a2，a4，a3成等差数列，所以2a4a2a3，即2a2q2a2a2q，化简得2q2q10，即(q1)(2q1)0，解得q或q1(舍去)又因为a11，所以S4.答案：3已知等差数列an满足a32，前3项和S3.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.解：(1)设an的公差为d，则由已知条件得化简得解得故an的通项公式an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.设bn的公比为q，则q38，从而q2，故bn的前n项和Tn2n1.谨记通法几类可以使用公式法求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式典例引领(2018天一中学检测)已知数列an的首项a13，通项an2npnq(nN*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列an前n项和Sn.解：(1)由a13，得2pq3，又由a424p4q，a525p5q，且a1a52a4，得325p5q25p8q，由解得p1，q1.(2)由(1)，知an2nn.所以Sn(2222n)(12n)2n12.由题悟法分组转化法求和的常见类型提醒某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论即时应用1求数列11，4，7，10，(3n2)的前n项和解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an(3n2)，Sn147(3n2)当a1时，Snn；当a1时，Sn.2(2018南京四校联考)在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.解：(1)设等差数列an的公差是d.因为a3a8(a2a7)2d6，所以d3，所以a2a72a17d23，解得a11，所以数列an的通项公式为an3n2.(2)因为数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，所以anbnqn1，即3n2bnqn1，所以bn3n2qn1.所以Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故当q1时，Snn；当q1时，Sn.典例引领(2018徐州调研)已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2an1，nN*.数列bn满足nbn1(n1)bnn(n1)，nN*，且b11.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若cnan，数列cn的前n项和为Tn，对任意的nN*，都有TnnSna，求实数a的取值范围解：(1)当n1时，S12a11a1，所以a11.当n2时，Sn2an1，Sn12an11，两式相减得an2an1，所以数列an是首项a11，公比q2的等比数列，故数列an的通项公式为an2n1.由nbn1(n1)bnn(n1)两边同除以n(n1)，得1，所以数列是首项b11，公差d1的等差数列，所以n，故数列bn的通项公式为bnn2.(2)由(1)得cnann2n1，于是Tn12022322n2n1，所以2Tn12222323n2n，两式相减得Tn12222n1n2nn2n，所以Tn(n1)2n1，由(1)得Sn2an12n1，因为对nN*，都有TnnSna，即(n1)2n1n(2n1)a恒成立，所以a2nn1恒成立，记cn2nn1，所以a(cn)min，因为cn1cn2n1(n1)1(2nn1)2n10，从而数列cn为递增数列，所以当n1时，cn取最小值c10，于是a0，所以实数a的取值范围为(，0由题悟法用错位相减法求和的3个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解即时应用(2019海门中学月考)已知数列an的前n项和为Sn，Snn2n.(1)求an的通项公式an；(2)若ak1，a2k，a2k3(kN*)恰好依次为等比数列bn的第一、第二、第三项，求数列的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1S11212.当n2时，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)2n.当n1时，符合上式，an2n(nN*)(2)由题意知ak1，a2k，a2k3成等比数列，aak1a2k3，即(22k)22(k1)2(2k3)，解得k3.b1a48，b2a612，公比q，bn8n1，nn1，Tn. Tn. ，得Tnnnn，则Tnn.锁定考向裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的常见的命题角度有：(1)形如an型；(2)形如an 型；(3)形如an型 题点全练角度一：形如an型1(2019启东一中检测)在数列中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求的前n项和Tn.解：(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn.由题意得Sn1Sn0，2，数列是首项为1，公差为2的等差数列，12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn.角度二：形如an 型2已知函数f(x)x的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 018_.解析：由f(4)2可得42，解得，则f(x)x.所以an，S2 018a1a2a3a2 018()()()()()1.答案：1角度三：形如an型3正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn.解：(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，故bn.Tn.通法在握利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项