2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，0，1，2，则A，0，B，C，1，D，2，2若，则A0或2B0C1或2D13下列与函数定义域和单调性都相同的函数是ABCD4已知等差数列中，则此数列中一定为0的是ABCD5若单位向量，夹角为，且，则实数AB2C0或D2或6高中数学课程标准版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象的多维分析）A甲的数据分析素养高于乙B甲的数学建模素养优于数学抽象素养C乙的六大素养中逻辑推理最差D乙的六大素养整体水平优于甲7命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立：，为奇函数，则下列命题是真命题的是ABCD8在中，则边上的高为AB2CD92020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有A6种B12种C24种D36种10在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成角为正确命题的个数是A0B1C2D311已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，则抛物线方程为ABCD12已知，则不等式的解集是A，B，C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，满足约条条件，则的最大值为14若，则15已知函数在区间，上的值小于0恒成立，则的取值范围是16三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，三棱锥体积的最大值为；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（）求的值；（）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：，18（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为棱上一点，若平面（）求线段的长；（）求二面角的余弦值19（12分）已知数列满足，且（）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（）设，求数列的前项和20（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为（）求的方程；（）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由21（12分）已知函数（）求曲线在点，（1）处的切线方程；（）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）（）求和的普通方程；（）过坐标原点作直线交曲线于点异于，交曲线于点，求的最小值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（）若，解关于的不等式；（）若当时，恒成立，求实数的取值范围2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，0，1，2，则A，0，B，C，1，D，2，【思路分析】可解出集合，然后进行交集的运算即可【解析】；，1，故选：【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2若，则A0或2B0C1或2D1【思路分析】根据复数求模公式计算即可【解析】因为，或2；故选：【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题3下列与函数定义域和单调性都相同的函数是ABCD【思路分析】可看出，在定义域上单调递减，然后可判断选项的函数在定义域上单调递增，而选项，的函数的定义域都不是，从而得出选项，都错误，只能选【解析】在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，的定义域为，在定义域上单调递减，的定义域为故选：【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题4已知等差数列中，则此数列中一定为0的是ABCD【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解析】等差数列中，化为：则此数列中一定为0的是故选：【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5若单位向量，夹角为，且，则实数AB2C0或D2或【思路分析】根据条件即可求出，然后对两边平方，进行数量积的运算即可得出，解出即可【解析】，且，解得或故选：【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题6高中数学课程标准版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象的多维分析）A甲的数据分析素养高于乙B甲的数学建模素养优于数学抽象素养C乙的六大素养中逻辑推理最差D乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【解析】对于选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项错误，对于选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项错误，对于选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项错误，对于选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项正确，故选：【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题7命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立：，为奇函数，则下列命题是真命题的是ABCD【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得为真命题，分析函数在时的奇偶性，可得为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案【解析】根据题意，命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立，当时，对任意实数，使得恒成立，故为真命题；命题，有，解可得，函数的定义域为，关于原点对称，有，即函数为奇函数，故其为真命题；则为真命题，、为假命题；故选：【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题8在中，则边上的高为AB2CD【思路分析】先利用平方关系求得，再由及正弦定理可求得，最后由等面积法求得边长的高【解析】，由正弦定理有，即，解得，即，即边上的高为故选：【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题92020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有A6种B12种C24种D36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到县，若若甲不单独被派遣到县，问题得以解决【解析】若甲单独被派遣到县，则有种，若若甲不单独被派遣到县，则有种，故根据分类计数原理可得，共有种，故选：【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题10在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成角为正确命题的个数是A0B1C2D3【思路分析】如图对于，连接，可得，又平面，即可判断出正误对于，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，进而判断出正误；由于与不垂直，可得与不垂直，即可判断出正误由于，和所角为即可判断出正误【解析】如图对于，连接，则，而平面，所以；故正确；对于，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，因此不正确；由于与不垂直，与不垂直，因此平面不成立，和所角为和成角为正确正确命题的个数是2故选：【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，则抛物线方程为ABCD【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出【解析】，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，过点作轴，解得，抛物线方程为，故选：【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键12已知，则不等式的解集是A，B，C，D，【思路分析】观察，可得，于是等价转化为，即，再分析的单调性，脱“”即可求得答案【解析】，得：，又恒成立，为上的增函数，式可化为：，解得：，故选：【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，满足约条条件，则的最大值为4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解析】由，满足约条条件作出可行域如图：