算法分析与设计基础 习题答案第1版习题1.1 5.证明等式gcd(m,n=gcd(n,m mod n对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明: 如果d整除u和v, 那么d一定能整除uv; 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。数对(m,n和(n,r具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n=gcd(n,r6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如00temp2*ax1(-b+sqrt(D/tempx2(-b-sqrt(D/tempreturn x1,x2else if D=0 return b/(2*aelse return “no real roots”else /a=0if b0 return c/belse /a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2.，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码 算法 DectoBin(n/将十进制整数n转换为二进制整数的算法/输入：正整数n/输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=(intn/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略对这个算法做尽可能多的改进.算法 MinDistance(A0.n-1/输入:数组A0.n-1/输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.3 1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count4.(古老的七桥问题习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.a.删除数组的第i个元素(1=i0时,(g(n= (g(n解:a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n的增长率小于或等于g(n的增长率，那么 g(n的增长率大于或等于t(n的增长率由 t(ncg(n for all nn0, where c0则： for all nn0b. 这个断言是正确的。只需证明。设f(n(g(n,则有： for all n=n0, c0 for all n=n0, c1=c0即：f(n(g(n又设f(n(g(n,则有： for all n=n0,c0 for all n=n0,c1=c/0即：f(n(g(n8证明本节定理对于下列符号也成立：a.符号b.符号证明：a。we need to proof that if t1(n(g1(n and t2(n(g2(n, then t1(n+ t2(n(maxg1(n, g2(n。由 t1(n(g1(n，t1(nc1g1(n for all n=n1, where c10由 t2(n(g2(n，T2(nc2g2(n for all n=n2, where c20那么，取c=minc1,c2,当n=maxn1,n2时：t1(n+ t2(nc1g1(n+ c2g2(nc g1(n+c g2(ncg1(n+ g2(ncmax g1(n, g2(n所以以命题成立。b. t1(n+t2(n (证明：由大的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n=n0，有：由t1(n(g1(n知，存在非负整数a1,a2和n1使：a1*g1(n=t1(n=a2*g1(n-(1由t2(n(g2(n知，存在非负整数b1,b2和n2使：b1*g2(n=t2(n=b2*g2(n-(2(1+(2:a1*g1(n+ b1*g2(n=t1(n+t2(n = a2*g1(n+ b2*g2(n令c1=min(a1,b1,c2=max(a2,b2，则C1*(g1+g2= t1(n+t2(n =c2(g1+g2-(3不失一般性假设max(g1(n,g2(n=g1(n.显然，g1(n+g2(n2g1(n，即g1+g20，g1(n+g2(ng1(n,即g1+g2max(g1,g2。则（3）式转换为：C1*max(g1,g2 = t1(n+t2(n =n0时上述不等式成立。证毕。习题2.41. 解下列递推关系 （做a,b）当n1时 a. 解：当n1时 b. 解：2. 对于计算n!的递归算法F(n，建立其递归调用次数的递推关系并求解。解：3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n=13+23+n3。算法S(n/输入：正整数n /输出：前n个立方的和if n=1 return 1else return S(n-1+n*n*na. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？解：a.7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？解:a.算法power(n/基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n/输入:非负整数n/输出: 2n的值If n=0 return 1Else return power(n-1+ power(n-1c.8.考虑下面的算法算法 Min1(A0.n-1/输入:包含n个实数的数组A0.n-1If n=1 return A0Else tempMin1(A0.n-2If tempAn-1 return tempElse return An-1a.该算法计算的是什么?b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解解:a.计算的给定数组的最小值for all n1n=1b. 9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A0.n-1算法 Min(Ar.lIf l=r return AlElse temp1Min2(Al.(l+r/2Temp2Min2(Al.(l+r/2+1.rIf temp1temp2 return temp1Else return temp2a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解b.算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗?解:a.习题2.6 1. 考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.算法SortAnalysis(A0.n-1/input:包含n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAiji-1while j0 and Ajv do countcount+1Aj+1Ajjj+1Aj+1vreturn count比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正.解:应改为:算法SortAnalysis(A0.n-1/input:包含n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAiji-1while j0 and Ajv do countcount+1Aj+1Ajjj+1if j=0 co