数字信号处理课后答案高西全、丁美玉版1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。解：2. 给定信号： （1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1），A是常数；（2）。解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是无理数，因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。解：（1）令：输入为，输出为故该系统是时不变系统。故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。（5） 令：输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。（7） 令：输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）；（3）；（5）。解：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。（3）如果，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。解：解法（1）:采用图解法图解法的过程如题7解图所示。解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:因为 所以 将x(n)的表达式代入上式，得到8. 设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。（1）；（2）；（3）。解：（1） 先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下：根据非零区间，将n分成四种情况求解：最后结果为y(n)的波形如题8解图（一）所示。（2）y(n)的波形如题8解图（二）所示.（3）y(n)对于m的非零区间为。最后写成统一表达式：11. 设系统由下面差分方程描述：；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令：归纳起来，结果为12. 有一连续信号式中，（1）求出的周期。（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。（3）画出对应的时域离散信号(序列) 的波形，并求出的周期。第二章教材第二章习题解答1. 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）令，则（2）（3）令，则（4） 证明： 令k=n-m，则2. 已知求的傅里叶反变换。解： 3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为。解：假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，4. 设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。,以4为周期，或者,以4为周期5. 设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算：（1）；（2）；（5）解：（1）（2）（5）6. 试求如下序列的傅里叶变换:（2）；（3）解：（2）（3） 7. 设:（1）是实偶函数，（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。解：令 （1）x(n)是实、偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明x(n)是实序列，具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是w的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，具有共轭对称性质，即由于x(n)是奇函数，上式中是奇函数，那么因此这说明是纯虚数，且是w的奇函数。10. 若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: 求序列及其傅里叶变换。解：12. 设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：（1）求出系统输出序列；（2）分别求出、和的傅里叶变换。解：（1）（2）13. 已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式；（2）写出和的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。解：（1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2） （3）式中式中上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的Z变换及收敛域：（2）；（3）；（6） 解：（2） （3）（6）16. 已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域时，令，因为c内无极点，x(n)=0；，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么（2）当收敛域时，C内有极点0.5；，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到（3）当收敛域时，C内有极点0.5，2；n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。最后得到17. 已知，分别求：（1）的Z变换；（2）的Z变换；（3）的z变换。解：（1）（2）（3）18. 已知，分别求：（1）收敛域对应的原序列；（2）收敛域对应的原序列。解：（1）当收敛域时，内有极点0.5，,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2, ,最后得到（2（当收敛域时，c内有极点0.5,2, c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此, 最后得到25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，试：（1）用卷积法求网络输出；（2）用ZT法求网络输出。解：（1）用卷积法求，,，最后得到（2）用ZT法求令,c内有极点因为系统是因果系统，,，最后得到28. 若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列及其傅里叶变换。解：求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。时，c内有极点,n=0时，c内有极点,0，所以又因为所以3.2 教材第三章习题解答1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为（2）；（4）；（6）；（8）；（10）。解：（2）（4）（6）（8）解法1 直接计算解法2 由DFT的共轭对称性求解因为所以即结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法1上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为 所以 等式两边进行DFT得到故 当时，可直接计算得出X（0）这样，X（k）可写成如下形式：解法2 时，时，所以，即2. 已知下列，求（1）;（2）解：（1）=（2）3. 长度为N=10的两个有限长序列 作图表示、和。解：、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。14. 两个有限长序列和的零值区间为: 对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上，为什么？解：如前所示，记，而。长度为27，长度为20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：（1）最小记录时间；（2）最大取样间隔；（3）最少采样点数；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）18. 我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。（1）求V；（2）求B；（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出