应用F-展开法求解Hirota-Satsuma方 程组的精确行波解红河学院本科毕业论文（设计）摘 要在本文中引入一个辅助方程，通过这个辅助方程来构造Hirota-Satsuma方程组的精确解，利用这个辅助方程的解，获得了Hirota-Satsuma方程组的各种行波解，包括周期解，孤立波解，扭子波解，紧孤立波解等.关键词：Hirota-Satsuma方程组；F-展开法；行波解；周期解；孤立波解； 扭子波解；紧孤立波解ABSTRACTIn this paper, a auxiliary equation is introduced. By using this auxiliary equation, the exact solutions of Hirota-Satsuma equations are established .that is, different kinds of exact traveling wave solutions of Hirota-Satsuma equations are obtained by use of solution of this auxiliary equation ,these exact solutions include periodic wave solutions, solitary wave solutions,kink wave solutions and compacton wave solutions.Keywords: Hirota-Satsuma equations; F-expansion method; traveling wave solutions; periodic solutions; solitary wave solutions; kink wave solutions;compacton wave solutions目 录第一章 绪论11.1 研究现状11.2 研究方程11.3 研究内容1第二章 F-展开法3第三章 求解方程组53.1 一般形式的精确解53.2 函数的行波解7第四章 小 结36参考文献37致谢38红河学院本科毕业论文（设计）第一章 绪论1.1 研究现状 非线性科学是近30年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上形成的，是继量子力学，相对论之后20世纪自然科学的重大发现. 最近,出现了许多求非线性发展方程精确解的新方法,如:齐次平衡 ,双曲正切函数展开, 椭圆函数展开 , F-展开 等. 它们各自对于某一类方程求某一种形式的行波精确解是十分有效的.其中椭圆函数展开法 , F-展开法对于求非线性发展方程的 椭圆函数解是十分有效的.对于Hirota-Satsuma方程人们一直通过各种方法进行研究，发现非线性发展方程( 组) 的精确孤立波解在数学物理问题研究中起着重要的作用.孤立波精确解除了自身的物理意义之外还可以应用于数学物理方程解的定性研究、鉴别数值方法和近似方法的有效性. 但是由于非线性发展方程的复杂性,毕业设计论文代做平台 580毕业设计网 是专业代做团队 也有大量毕业设计成品提供参考 www.bysj580.com QQ3449649974 对它的求解研究还是非常困难的. 这些方法各有其优劣点, 只适用于各自的特殊类型的方程( 组)的求解,求解非线性数学物理方程( 组) 的还没有系统而有效的方法.所幸的是孤子理论中蕴涵着很多求解精确解的有效方法，如反散射法(IST)7-9,Hirota双线性法10，Painleve有限展开法11-12，延拓法及Lie群法13等.但目前科学理论和技术的发展迫切需要研究有效的求解方法.所以求非线性数学物理偏微分方程的精确解是人们探索的课题,需要研究有效的求解方法.目前，非线性科学已成为当代研究的焦点.1.2 研究方程(1)非线性Hirota-Satsuma方程组14 (1-1)1.3 研究内容本文主要是针对非线性耦合方程组（1.1）的特点，构造一个辅助方程，通过采用齐次平衡法、F-展开法及辅助方程的解来得到方程组(1.1）的行波解，并利用数学软件Maple得到行波解的几个典型波形图.论文主要分为三个章节来写：第一章 主要写研究此问题的背景，研究方程的由来及论文的大体情况； 第二章 主要介绍论文用到的概念及研究方法； 第三章 论文研究的全过程及得到的结果； 第四章 论文小结.1红河学院本科毕业论文（设计）第二章 F展开法 F-展开法是齐次平衡原则的新应用，可视为椭圆函数、三角函数以及双曲正切函数展开法的概括.考虑非线性波方程(PDE) (2-1)为其变元的多项式，其中包含有非线性项和高阶偏导数寻求它的行波解为 (2-2)其中为非零常数，是任意实常数.(2.1) 经(2.2) 行波变化为 . (2-3) 依据F 展开法，首先，假设(2.3) 的解u() 具体形式为 (2-4)其中 为待定常数，且函数满足如下的一阶常微分方程 (2-5)其中A, B , C 为待定常数. 然后，利用齐次平衡原则 ，确定(2-4) 式中的n ， 使得(2-4) 式可以平衡(2-3)中的非线性项和最高阶导数项. 将确定了n 的(2-4) 式代入(2-3) 式，求出使(2-3) 成立的各个待定常数. 再将求出的常数代入（2-4）式，这样在形式上就得到了（2-3） 式的F-展开解(2-4) . 最后，根据表1 F 函数就可以取成相应的 椭圆函数，从而就得到了（2-3）式的精确行波解.表一方程与之相应的椭圆函数解的关系15:（其中=）No NO12345678,A0,A0,A0,0,A0,A0,0,A0,A0,c0A09 10111213141516,A0,C0A0,A0,=0,A0,=0,A0,A0,B=0,A=0 ,C0,A=B=033第三章 求解方程组 本文的主要工作是采用F-展开法、齐次平衡法及辅助方程法来解如下Hirota-Satsuma 方程组 (3-1) 3.1 一般形式的精确解为了寻求方程组(3.1)的精确孤立波解，我们可设 ， ， ， (3-2)其中待定，把(3.1)式代入方程组(3.0）可得下列常微分方程组 (3-3) 现假设能表示成有限级数 (3-4)这里是待定常数，而满足一阶非线性常微分方程 (3-5)根据改进的F展开法和齐次平衡法，我们假设可以表示如下： (3-6) 将(3-6)代入方程(3-3)，并利用(3-5)式，将方程(3-3)化为的多项式,消去。令多项式的系数为零，得到一个超代数方程组 （3-7） （3-8） (3-9) (3-10) (3-11) (3-12) (3-13) (3-14) (3-15) (3-16) (3-17) (3-18) 求解代数方程组(3-7)-(3-18)，取以下四种情况的解组： 情形： （3-19） 情形 ： (3-20)情形： (3-21) 情形： (3-22) 3.2 函数的行波解 通过运用方程(3-3)的结果与对应的关系表，分别把16个解带入四种情形可得到以下一系列的解.对于情形I： (3-23) (3-24) (3-25) (3-26) (3-27) (3-28) (3-29)