浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义： 定义：一个群的一个子群叫做一个正规子群，假如对的每一个元来说，都有.例1、交换群的任意子群都是的正规子群。因为对任意,有.由于正规子群仅要求的两个形如与的子集相等，这与中任何两个元素,可交换，即，是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设是环的一个非空子集，如果(1)对任意,有(2)对任意,任意,有则称是环的一个理想.由于（1），一个理想是一个加群。由于（2），对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环，但（2）不仅要求的两个元的乘积必须在里，而且进一步要求，的一个任意元同的一个任意元的乘积都必须在里.例1、 在整数环中，, ,则,是的理想.二、下面我们给出正规子群与理想性质的比较（一）性质1：设是的子群，则以下几个命题是互相等价的：(1)对任意,有 (2)对任意,任意的,有(3)对任意,有 (4)对任意有.证明：(1)(2)：对任意,任意的,有 (2) (3):，推出(3) (4) 由对任意的，有，因而也有，即.故对任意的，有,所以，得，故(4) (1) 所以.例：设，则对于矩阵的乘运算做成一个群，且令,容易验证是的一个子群。因为对任意的,有得是的正规子群（这样验证正规子群要比利用其他条件方便些）.说明：当我们要检验一个子群是否是正规子群时，可用4条件之中的任何一个。通常用条件比（2）较方便。因为它比其他三个条件更具操作性。但对于理想的判定，通常用定义比较方便.2、（1）的正规子群的正规子群未必是的正规子群例：设，则对于矩阵的乘法运算做成一个群，且，令由上面的例子可知是的正规子群.令，容易验证是的一个子群.由于对任意,有:所以是一个交换群，从而得的任意子群必是正规子群。所以也是的正规子群。但是，不是的正规子群，例如，我们取,则.(2)环的理想的理想未必是环R的理想解，矩阵环 , 是环的理想. 是的一个理想, 但不是的理想. 我们取矩阵，取，3、两个正规子群的交集还是正规子群证明：设是群的两个正规子群，且, 设。由题意可知存在，则,，对于任意，又因为是群的正规子群。所以,.所以是群的正规子群.推论：群的若干个正规子群的交仍是正规子群.环的两个理想的交仍是环的理想.证明：设是环的两个理想。再设（1） 对于,则,.又因为是环的两个理想,所以,则，.（2）,则, ,对于任意,有,.所以,.即. 所以根据理想的定义，是环的理想.推论：环的若干个理想的交仍是环的理想.4、群的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群.证明：（1）设是的正规子群，是的子群，任取,由于,故，从而.同理可证，因此,所以是群的子群.（2)设是群的正规子群，是群的正规子群，由上式知是群的子群，对于任意,有故是群的正规子群.若是环的两个理想，那么也是环的一个理想.证明：对于任意, 任意,那么，有 ; 所以是环的一个理想.若是环的两个理想，那么也是环的理想.5、设是群的正规子群，也是群的正规子群，则未必是群的一个正规子群.设是环的一个理想，也是环的一个理想，则未必是环的一个理想.解：在整数环中，,都是的理想，但，对于，则。所以不是的理想.6、包含群的所有以下性质的元，,不管是的哪一个元。那么是的一个正规子群.因为，所以是非空的，又这就是说，, 是的一个子群。但的每一个元都可以同的每一个元交换。我们显然有。即是的正规子群.这个正规子群叫做的中心.设是一个环，的中心是的一个子环，但不一定是的理想.例如：当为交换环时，则有是的一个理想。但在下面的例子中，就不是的一个理想.例：， 则是的一个子环.但不是的一个理想，因为，取有7、特例：指数为2的子群必是正规子群.证明：设是群，H是群的子群，且。取, ,.由陪集的性质得,所以是群的正规子群.一个除环只有两个理想，即单位理想和零理想.证明：假定是环的一个理想而不是零理想，那么且不等于零。由理想的定义，.因而的任意元这就是说对于域来说，也只有两个理想，即单位理想和零理想.三、正规子群之所以重要，其根本原因在于这种子群的全体陪集对于子集的乘法来说又可以作成一个新的群。设是群的一个正规子群，表示的所有左陪集作成的集合，即，则关于运算：对任意的,作成一个群.证明：事实上，这里所有定义的运算与两个子集的乘积是一致的。因为，根据子集的乘积运算满足集合律，有 由于是的子群，则有.所以,. 首先我们来证明运算的定义是合理的如果, ,即，, , 那么，存在，使得，从而有 ,由于是的正规子群，则, 所以，存在, 使得, 得 ，, 由此我们得到, 即其运算结果与代表元的选取无关。其次，再来证明作成一个群。由于集合的乘积满足结合律，故关于上述代数运算满足集合律. 又对任意的，有 故是的单位元；且即的逆元为 从而证明了关于陪集的乘法运算作成一个群.由群G的正规子群H的所有陪集作成的商的集合作成的群，叫做关于正规子群的商群，其代数运算为： 对于任意的我们举一例来加以直观描述例：设，, 则含有两个元素，.有下面的表述我们可以看出理想在环论里所占的地位同正规子群在群论里所占的地位类似设是环的一个理想，我们可知是的正规子群.由以上可知，对于的商集关于陪集的加法构成一个群其中 进一步，在中，利用的乘法运算规定 ：,对于任意的.下面来证明上述规定的乘法是的代数运算，即需要证明运算结果与代表元的选取无关.设,，故有 ,，从而得 ，其中，即有 . 于是上述规定的乘法运算是合理的 .又，对于任意的 故是半群.由于 同理有 综上所述，作成一个环设是环的一个理想，商集关于运算, ,对于任意的所作成的环，叫做关于理想的商环我们举一例来加以直观描述。例：关于整数环的主理想(4)，由于，而，其中 .即是由一切被4除余的整数组成的集合，所以只能是，其中之一，故 一般地,有.四、在正规子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系。知道了这几个关系，我们才能看出正规子群和商群的重要意义。定理1：一个群同它的每一个商群同态.证明：我们规定一个法则这显然是到的一个满射,对于的任意两个元和来说，所以它是一个同态映射.定理2：假定和是两个群，并且与同态，那么这个同态满射的核是的一个正规子群， 并且.证明：我们用来表示给的同态满射。假定和是的任何两个元，那么在之下，, 因此，=这就是说. 是的一个子群假定,，而且在之下，那么在之下, 推出这就是说，, 有是的一个正规子群现在我们规定一个法则: = () 我们说，这是一个与的同构映射，因为：（1） =这就是说，在之下的一个元素只有一个唯一的象（2） 给了的一个任意元，在里至少有一个元满足条件()= ，由的定义，：给的, 这就是说，是到的满射（3)（4)在之下， = 这样 例：如果,分别为阶的循环群，证明：当且仅当时，证明：设是群到的同态满射，由上述定理知/ 由于的阶为，故的阶也为，即中含有子群，使:=，而=|=:*| |=*| 得，反之，如果，由于与都是循环群，我们可设, 令，则是到的映射，因为：也就是说，对于中的每一个元素，不论其表示法如何，在之下的象总是唯一的，故是到的映射，显然为满射，且保持运算，从而得理想在环论里所占的地位同正规子群在群论里所占的地位类似，以下两个定理与群论里的两个相当定理完全平行.定理1：假定是一个环，是它的一个理想，是所有模的剩余类作成的集合，那么本身也是一个环，并且与同态.证明：映射 显然是到的一个同态满射，所以与同态，而是一个环定理2：假定同是两个环，并且与同态，那么这个同态满射的核是的一个理想，并且证明：我们先证明是的一个理想，假定那么由的定义，在给的同态满射 之下， , , 这样-= .假定是的任意元，而且在之下， , 那么,=, .现在我们证明 ，我们规定一个法则: =()我们说，这是一个与间的同构映射，因为: =-=.是一个到的映射，但显然也是一个满射，并且是一个与间的一一映射。由于= 是同构映射.以上两个定理充分地说明了理想与正规子群的平行地位.例：设是实数域R上的多项式环，I=(+1) 那么/I.证明:令 : , , 对于任意的 不难证明是到的一个满同态，即。因此，只需证明=I=(+1), 事实上，对任意的 ，则， =0, 得 是的一个根，既有|. 由于实系数多项式复根成对出现，从而-也是的一个根，即有(x+)|。从而, 得+1=| 即=(+1)(+1) 故I=(+1)，反之，对任意的 (+1)=I 则=(+1) 从而()= ( (+1)= (+1)=0即 , 得=( +1) ,所以 =(+1)= 由环同态基本定理得/五、在一个同态满射之下，一个群的若干个性质是不变的，现在让我们看一看，同态满射对于正规子群会发生那些影响.定理1：假定和是两个群，并且与同态，那么在这个同态满射之下（一）的一个正规子群的的象是的一个正规子群（二）的一个正规子群的逆象是的一个正规子群证明：我们用来表示给定的同态满射1、 假定，是两个任意元，并且在之下，a,b () 其中是群的子群，是在下的象那么在之下但由于是子群，, 因此由于是的在之下的象，,这样，,是的一个子群即是的一个正规子群，由上面可知，是的一个子群，假定是的任意元，是的任意元，而且在 之下 , , (, )那么在 之下，但由于是的正规子群，. 因此,由于是在之下的象， .这样，, , 是的一个正规子群2、 假定 是 的子群，是 在 之下的逆象，假定是的两个任意元，并且在之下， , , 那么由于是的逆象，, 因而 ，但之下，.所以 。这样，,是的一个子群。既是 的一个正规子群。由上式，我们知道是的一个子群。假定是的任意元，是的任意元，并且在之下， , 那么，,因而由于 是正规子群，,但在之下，所以 这样, 是的一个正规子群这样，由上我们可以看出一个群的一个子集是否是一个正规子群这一性质，在同态满射下是不变的.由于理想在环论里所占地位同正规子群在群论里所占的地位类似，所以理想经过一个同态映射也是不变的，即：定理：在环到环的一个同态慢射之下,1、 的一个理想的象 是的一个理想2、 的一个理想 的逆象是的一个理想.证明：我们用来表示给定的同态慢射.（1）假定， 是 的两个任意元，并且在之下, , (,) |() 那么在之下,.但由于是理想 所以 -, ,. 因此由于是的在之下的象。所以 ， 这样， - . , , 有， 所以，是的一个理想.（2)假定,是的两个任意元，并且在之下， , ，|() 由于:-， ,| ,|又因为是的理想。所以-，又因为是 在之下的逆象。 所以，-, , 所以是环的一个理想.正规子群uhHiziqun