数学二线性代数22)(本题满分 11 分)( 2018)x3)2 (x2 x3)2 (x1 ax3)2,其中a是参数 .设实二次型 f (x1,x2,x3) (x1, x2(I) 求f (x1,x2,x3) 0的解；(II) 求f (x1, x2 ,x3)的规范形 .23）（本题满分 11 分） （ 2018）12已知 a是常数，且矩阵 A= 1 327a1a20 可经初等列变换化为矩阵B=011a111(I) 求 a;（II） 求满足 AP B的可逆矩阵 P.22）（本题满分 11 分）（ 2017）三阶行列式 A （ 1, 2, 3）有 3个不同的特征值，且 3 1 21）证明 r（A） 22）如果 1 2 3 求方程组 Ax b 的通解23）（本题满分 11 分）（ 2017）x Qy 下22设二次型 f (x1,x2,x3) 2x2 x222ax3 2x1x2 8x1x3 2x2x3 在正交变换的标准型为 1y12 2y22 求 a的值及一个正交矩阵 Q.（22）（本题满分11 分）（ 2016）111a0设矩阵 A 10 a ，1 ，且方程组 Ax无解。a11a12a 2）求 a 的值；BA 。记 B( 1, 2, 3) ，将 1, 2, 3 分）求方程组 AT Ax AT 的通解。（23）（本题满分 11 分）（ 2016）011已知矩阵 A230000（）求 A99)设 3 阶矩阵 B ( 1, 2, 3) 满足 B2别表示为 1, 2, 3 的线性组合。22、（本题满分 11 分）（ 2015）a10设矩阵 A 1 a 1 ,且 A3 O. 0 1 a（1）求a的值；（2）若矩阵 X 满足 X XA AX AXA E,E为 3 阶单位矩阵， 求 X 。23、（本题满分 11 分）（ 2015）120023设矩阵 A 133 ，相似于矩阵 B0b0，12a031（1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 P1AP为对角矩阵。（22）（ 本题满分 11 分）（ 2014 ）设矩阵 ， 为 3 阶单位矩阵 .（I） 求方程组的一个基础解系；（II）求满足的所有矩阵 B.（23）（ 本题满分 11 分）（ 2014 ）（24）证明 阶矩阵 与相似 .22本题满分 11 分）（2013）并求出设 A 求实数 a 的值； 求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形 a ,B 0 1 ，问当 a, b为何值时，存在矩阵 C，使得 AC CA B，101b所有矩阵C23（本题满分11 分）（2013）设二次型f (x1,x2,x3) 2(a1x1a1b1a2b2a3b31）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T22a2x2 a3x3)(b1x1 b2x2 b3x3)f 在正交变换下的标准形为222y1 y2 （22）（ 本题满分11分）( 2012)1a00101a01设A001a0a00102）若正交且为单位向量，证明（I） 计算行列式 A ；（II） 当实数 a 为何值时，方程组 Ax有无穷多解，并求其通解（23）（ 本题满分 11 分） （ 2012）101011，二次型10a0a1已知 Ax1,x2,x3xT ATA x的秩为 2，（22）（本题满分 11 分）（ 2011）（1,3,5）T 不能由向量组1 (1,1,1)T ，设向量组 12 （1,2,3） T （I）求 a 的值； （II）将 1 , 2,(1,0,1)T ， 2 (0,1,1)T ， 3， 3 (3,4,a) 线性表示。3 用 1 , 2, 3 线性表示。（23 ）（本题满分 11分）（2011）1111设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 A000 0 。1111（I）求 A 的所有的特征值与特征向量；（ II）求矩阵 A。22.(2010)11a设 A 0 10 , b1 .已知线性方程组Axb 存在 2个不同的解。1111）求 、 a .（ 2）求方程组 Axb的通解。01423. 设 A1 3a ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为4a01T(1,2,1)T ，求 a、6Q .(2010 )1 1 11（22 ）（本题满分 11分）设 A1 1 1 ，110 4 22（ ）求满足 A 21 , A 3 1的所有向量 2 , 3（）对（ ）中的任一向量 2,3，证明： 1, 2 ,3 线性无关。( 2009)23）（本题满分 11 分）设二次型 f x1, x2 ,x3 ax12 ax22 a 1 x32 2x1x3 ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；22 ）若二次型 f 的规范形为 y12 y22，求 a 的值。（2009）22 ）（本题满分 12 分） （2008）设 元线性方程组 ，其中，（1）证明行列式 A n 1 an；（2）a 为何值，该方程组有唯一解，并求 x1 ；（3）a 为何值，该方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分 10 分）（ 2008）设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2 为 A 的分别属于特征值1,1 特征向量，向量A 3 2 3 ，（1）证明 1, 2 , 3线性无关；（2）令 P1, 2, 3 ，求 P 1AP.（23 ） （本题满分 11 分）（2007）x1 x2 x3 0设线性方程组x12x2ax30 与方程组x12x2x3a1有公共解，x1 4x2 a2x3 02x2x33 满足求 a 的值及所有公共解 .24） （本题满分 11 分）（ 2007）设 3阶对称矩阵 A的特征向量值 1 1, 2 2, 3 2， 1 （1, 1,1）T是 A的属于 153的一个特征向量，记 B A5 4A3 E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵 .（ I）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（ II）求矩阵 B.22）（本题满分 9 分）（ 2006） 已知非齐次线性方程组1有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵x1 x2 x3 x414x1 3x2 5x3 x4ax1x2 3x3 bx4的秩 r A 2 ；（）求 a, b的值及方程组的通解（23）（本题满分 9 分）（ 2006）1,2, 1 T , 2 0, 1,1 T 是线设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 性方程组 Ax 0 的两个解 .（ ） 求 A的特征值与特征向量；（） 求正交矩阵 Q和对角矩阵 ,使得 QT AQ（22）（本题满分 9 分）（ 2005）确定常数 a,使向量组 1 （1,1, a）T , 2 （1,a,1）T, 3 （a,1,1）T 可由向量组1 （1,1,a）T , 2 （ 2,a,4）T, 3 （ 2,a,a）T 线性表示，但向量组 1, 2, 3不能由向量 组 1, 2, 3线性表示 .23）（本题满分 9 分）（ 2005）123已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 （a,b,c）,a,b,c不全为零，矩阵 B246 （ k 为常数），36k且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解 .（22）（本题满分 9 分）（2004）设有齐次线性方程组(1a)x1x2 x3 x40,2x1(2a)x2 2x32x40,3x13x2(3 a)x33x40,4x14x24x3 (4a)x40,试问 a 取何值时 ,该方程组有非零解, 并求出其通解23）（本题满分9 分）（ 2004）3设矩阵 13 的特征方程有一个二重根 , 求 a的值 , 并讨论 A 是否可相似对角化.十 一、（本题满分10 分）（2003）220若矩阵 A82a 相似于对角阵006P 1AP，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使十二 、（本题满分 8 分）（ 2003）已知平面上三条不同直线的方程分别为l3 :cx 2ay 3b 0.l1 : ax 2by 3c 0 ， l2 : bx 2cy 3a 0，试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.本题满分分）已知，为 3 阶矩阵，且满足 2A 1BB 4E，其中 E是 3 阶单位矩阵 .（2002 ）证明：矩阵 A 2E 可逆；1 2 0 若 B 1 2 0 ，求矩阵002十二、（本题满分分） 已知 4 阶方阵 A( 1 ,2 , 3,4) ，1, 2, 3, 4均为 4 维列向量，其中 , ,2, 3 ,4 线性无关， 1 223若123 4 ，求线性方程组Ax的通解（2002）100011十一、（本题满分6 分） 已知矩阵 A110,B101且矩阵 X 满足111110AXA BXA AXBBXA E,其中 E是3阶单位矩阵，求 X （ 2001）十二、（本题满分 6 分） 已知234 是线性方程组AX 0 的一个基础解系，若112,3,4,44，讨论实数t 满足什么关系时，124 也是AX0 的一个基础解系2001)20.设222B2 A2x21.a,b 的值