第 1 章 习 题1、 求函数的等值面方程。解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为。设常数E，则，即：针对不同的常数E（不为0），对应不同的等值面。2、 已知标量场，求场中与直线相切的等值线方程。解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：，代入标量场，得到：，满足唯一解的条件：，得到：，因此，满足条件的等值线方程为：3、 求矢量场的矢量线方程。解：由矢量线的微分方程：本题中，则矢量线为：，由此得到三个联立方程：，解之，得到：，整理，它们代表一簇经过坐标原点的直线。4、 求标量场在点M(2,0,-1)处沿方向的方向导数。解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u在可微点M处沿l方向的方向导数为、分别是l方向的方向角，即l方向与的夹角。、分别是l方向的方向余弦。，令：则：，5、 求标量场在点M(0,0,0) 、点M(1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。解：由梯度定义：则：若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：解之，得到：即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。6、 设，n为正整数。求、。解：根据题意及梯度定义：7、 求矢量场在点M(1,0,-1)处的散度。解：由题意及散度定义：，将M(1,0,-1)代入：得到：8、 设为常矢量，求、，证明 解：由散度运算公式：1）2）3）4）证明：因为：且：，均为常数，所以有：得证。9、 设无限长细直导线与z轴重合，其上有沿正z轴方向流动的电流I，导线周围的磁场计算。解：由题意及散度的定义：10、已知，求。解：由题意及散度运算性质：所以：11、计算下列矢量场的旋度：（1）；（2）；解：由矢量场旋度定义式，可得：1）2）12、已知，计算。解：由题意及矢量的旋度运算公式：13、已知，为常矢量，求、。解：1）2）3）14、已知，求。解：由题意及运算规则，先求出，再求旋度：15、已知位于坐标原点处电量为q的点电荷产生的电位移矢量为，其中，计算和。解：由题意：1）2）在r=0处，无意义，不存在。16、证明，。证明：1）由标量场梯度的定义式：由令：则：由此得证。2）由旋度定义：则：由此得证。17、已知，求，并计算。解：由题意及柱坐标下梯度的计算公式：由可得：18、已知，计算、。解：由题意及柱坐标下散度、旋度的计算公式：可得：19、已知，求。解：由题意及球坐标下梯度的计算公式：可得：20、已知，计算、。解：由题意及球坐标下散度、旋度的计算公式：第 2 章 习 题1、 三个点电荷q1=4C、 q2=2C、q3=2C，分别放置于(0,0,0)、(0,1,1)、(0,-1,-1)三点上，求作用于(6,0,0)点处单位负电荷上的力。解：由库仑定律，得点电荷间作用力：令(6,0,0)点处单位负电荷为q；则电荷q1对电荷q的作用力：电荷q2对电荷q的作用力：电荷q3对电荷q的作用力：所以，作用于q点电荷的作用力为：2、 长度为L的线上电荷密度为，为常数，计算该带电线的垂直平分线上任意点的电场强度。解：由库仑定律及点电荷间作用力公式：令带电线沿Z轴方向，其中点位于坐标原点，则其垂直平分线位于xy平面内。3、 总电量为Q的电荷按以下方式分布在半径为a的球形区域：（1）均匀分布于r=a的球面上；（2）均匀分布在ra的球体中；（3）以体电荷密度分布于ra的球中。计算球内、球外的，并绘出曲线。解：本题（1）、（2）、（3）中，电荷均以球心为中心对称分布，因此，电场都只有方向的分量，即；也就是说，在以球心为中心的任何球面上都相等，可以应用高斯定理积分形式来求解；很明显，本题求解可选用球坐标系，（1）、（2）、（3）均取的球心为球坐标系的坐标原点。（1）、电量Q均匀分布在的球面上。在的球内，应用高斯定理，可得：，解之：；同理，当时，应用高斯定理，可得：，解之：（2）、电量Q均匀分布在的球内。则球内任意一点的电荷密度为：；在的球内，应用高斯定理，可得： 解之：；同理，当时，应用高斯定理，可得：，解得：（3）以体电荷密度分布于ra的球中。在的球内，应用高斯定理，可得：；解之，得到：在的球面上，在的球外，应用高斯定理，可得：通过计算可知，以上三种情况下，在处，电场强度均相同。4、 两个无限长的r=a和r=b（ba）的同轴圆轴表面分别带有面电荷密度和, （1）计算各处的E； （2）欲使rb处E=0，则和应具有什么关系？解：本题中，两个圆柱同轴，场呈轴对称、二维分布，宜选用柱坐标来求解，以同轴圆柱面的轴心线为z轴，则场分布在xy平面上，并且只与径向坐标r有关。可应用高斯定理求解，选取以z轴为中轴线的单位长圆柱面作为高斯面，由于场只有径向分量，因而只有侧面由通量；并且，侧面积为：（1）、计算各处的场：1）、处，高斯面内无电荷分布，因而2）、处，高斯面内总电量为， 则：，得到：3）、处，高斯面内总电量为，则：，得到：（2）、欲使处，则要求处高斯面内总电量为零，也就是说：，解之可得，需满足以下关系：，5、 在球坐标系中，已知， a、A均为常数，求电荷分布。解：本题宜选用球坐标系来求解：已知电场求解电荷分布，需要用到高斯定理的微分公式，球坐标系下，计算的散度的公式为：本题中，所以，当时，所以，当时，所以，6、 分析下列函数中哪一个可能是静电场的表示式，式中A为常数。（1）；（2）；（3）7、 长度为L的线上电荷密度为常数，（1）计算该线的垂直平分线上任意点的电位；（2）由库仑定理直接计算该垂直平分线上任意点的电场强度，并用核对。8、 两根互相平行、距离为d的无限长带电细直线，其上电荷均匀分布。若其中一根的线电荷密度为，另一根的线电荷密度为，求空间任意点的电位和电场强度。解：如右图所示：由于两带电平行线无限长，若令两平行线沿Z轴，且其中垂线过原点，则其场分布与Z向无关，分布于xy面上，是一个二维场，只有x、y分量。由可求得任意点的场强。线电荷密度为：高斯定理可得：9、 一半径为a、总电量为Q的导体球，其外包裹着一层厚度为b、介电常数为的电介质球壳。求空间的电场强度、电位移矢量、电位以及介质球壳内外的极化电荷密度。解：因空间媒质以球心对称分布，电荷Q必均匀分布在导体球面上，Q（对电场的贡献）产生的电场及该电场引起介质极化产生的电场都以球心中心呈对称分布，故可用高斯定理求解，求解所用高斯面S是以球心为中心的球面。在此球面上,。且r相同处也相同。（1） 导体内无静电场，,（2） 填充物为介质，且应用介质中 （3） 填充物为空气， 将代入（2）、（3），可知在r=b两媒质交界面处都可得到。这说明在两不同媒质交界面处，法向分量连续。但在rb一侧，而在一侧，也就是说，在两不同媒质交界面处，的法向分量不连续，其原因在于的介质表面有束缚电荷分布。（4）求电位取为计算电位的参考点，应用不同媒质交界面处电位连续的条件：（5）、求束缚电荷密度在区域，将其代入，得到：，应用，是介质表面外法向单位矢量，则有：在球坐标系中，只有分量，且与无关，所以介质中体束缚电荷为：由于，在的介质球壳及两表面上总的束缚电荷以上计算说明：1）、介质极化后虽有分布、分布，但总极化电荷恒为0；介质仍是电中性的。2）、电场中的均与介质，其内部体束缚电荷为0；也就是说均与介质内部没有束缚电荷的堆积。10、 半径为a的均匀极化介质球，极化强度矢量（P0为常数），求z轴上任意一点的电场强度。11、 半径为a的导电圆环上电流为I，求该导电圆环的中轴线上任意点处的磁感应强度。12、 空间中有相距为d的两无限长平行直导线，其上电流分别为I1、I2，且方向相同，求空间任意一点处的场矢量。解：1）由于直导线无限长，可看成两端在无限远处相连而构成闭合回路。2）由于直导线无限长，与其垂直的任何平面上，场分布完全相同，因此这是一个二维场。只需研究xoy平面上的场分布，且该平面上场矢量都只有两个分量。3）可应用分别计算在空间任意一点P产生的场，再应用叠加原理求。如图所示：正向与相同，与呈右手螺旋关系。对于：，是以为半径的圆。对于，同理可得：，是以为半径的圆。为将在xoy坐标系中叠加，应当求出及的表达式。由图可知：设，由可列出如下方程：，由此得到：，同理可得：因此：13、 内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱导体管中均匀分布着沿轴向流动的电流I，求空间的磁场；又当、I不变，重求。解：这是一个轴对称的二维磁场，只有方向分量。且只与坐标有关。此题适合在柱坐标系中求解。根据安培环路定律：，可用于求解空间磁场分布，其中，是以为半径、垂直于z轴的圆形闭合曲线，线上任何一点均相同。区域：，即，因此：区域：，在半径为的圆内，相铰链的电流为，代入环路定律：，解之，得到：，区域：总电流为，当时，电流以面电流密度均与分布在的圆柱面上，的区域内，没有电流分布，由安培环路定律得：，在半径为的圆内，相铰链的电流为14、 半径为a的圆柱形直导线，它产生的磁感应强度为求这两个区域的电流密度。解：在这两个区域，用静磁场安培定律的微分形式：由柱坐标系下旋度计算公式：本题中，只有分量，因此：时：因此：时：同理可得：，因此：15、 相距为d的两根无限长平行导线上有大小相等、方向相反的电流I，求空间的磁矢位和磁感应强度。16、 已知半径为a的圆柱形导体内的磁矢位为，求相应的。解：柱坐标系中，旋度的计算公式14题已经给出，本题中，由磁矢位求相应的磁感应强度。他们之间的关系式为（2-25）：，注意到，其仅z分量，且为的函数，因此：17、 半径为a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为Q，若该球以角速度绕其自身的一直径旋转，求球体内的体电流密度。18、 如图A所示，半径为2mm的圆柱导线中电流密度为，求电流I。19、 如图B所示，无限薄的导电面放置于z=0平面内0x0.05m的区域中，流向方向的25安培电流按正弦规律