固体物理学习题参考第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=a那么，=1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：正方a=bab=90六方a=bab=120矩形abab=90带心矩形a=bab=90平行四边形abab90 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（100）（010）答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此 (1)由于a3=（a1+ a2）把（1）式的关系代入，即得根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）（0001），（100），（010），1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石：。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：边长为a的立方晶胞中堆积比率为假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：= = （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为，那么：= = （3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为r，那么：= = （4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此=（5）对于金刚石结构Z=8 那么=.1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c）式中c=3c。显然，a、b、c构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)原胞的体积=13.5*10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失为：，求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积=a（b*c）= 那么，倒格子的基矢为 ， ，其第一布里渊区如图所示：1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为，。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到故1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角如下序号12345/（）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式得 同法得应用立方晶系面间距公式可得晶格常数把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为 用正交关系式求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 由 得到下面四个方程式 （1） （2） （3） （4）由（1）式可得：由（2）式可得：由（3）式可得：由（4）式可得：于是得出倒易点阵基矢 第三章 习题答案3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m8.351027kg，恢复力常数15Nm1 解：一维单原子链的解为 据周期边界条件 ，此处N=5,代入上式即得 所以 2（为整数） 由于格波波矢取值范围：。 则 故可取2，1，0，1，2这五个值 相应波矢：,0, , 由于，代入，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.061013，4.991013，0，4.991013，8.0610133.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 式中是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N解：对一维单原子链， 所以 （1） 由色散关系 求得 （2） 而， 则由（1）式可得 由于 ，则总的振动模数为 令，则积分限为0到 ， 故 3.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为解：由书上（369）式可得 （1）由（371）可得 由此可得 ，代入（1）式得3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m8.351027kg，另一种原子的质量M4m，力常数15Nm1，试求（1） 光学波的最高频率和最低频率和；（2） 声学波的最高频率；（3） 相应的声子能量（以eV为单位）；（4） 在300K可以激发频率为，和的声子的数目；（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1） （2） （3） ， ， （4）光速 ，3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10， 且最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图， 10 10mx2n-1 x2n x2n+1 x2n+2原子的运动方程应是即 求格波解， 令 ，代入运动方程，可导出线性方程组为：令，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得可解出 色散关系见下图时，时，3.6在一维双原子链中，如，求证 证 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ， 由近似式， 得 ， 对，由于， 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。证 由（318）第一式得 ，当 时 且对声学支，代入上式即得： ，故A0， 轻原子静止 再由（318）第二式得 ，当 时 且对光学支，代入上式即得 故B0， 重原子静止3.8 设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率，其中M是原子质量。解 当质量为M的原子以频率及等于原子间距的10的振幅振动时，其振动能为： 在熔点时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为，于是有，由此得3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容 证明：由书（3.73）式可知在高温时，则在整个积分范围内为小量，因此可将上式中被积函数化简为 将上式代入的表达式，得 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：由（369）式知，状态密度 则 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于证明：此题可推广到任意维m，由于 而德拜模型中，故 令，则上式变为 在低温时 则积分 为一个于