5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：以六位数为例：a100000+b10000+c1000+d100+e10+f。二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。十进制二进制十六进制八进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】 某三位数和它的反序数的差被99除，商等于_与_的差；【解析】 本题属于基础型题型。我们不妨设abc。(-）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c；【巩固】 与的差被9除，商等于_与_的差；【解析】 (-）9=(10a+b)-(10b+a)9=(9a-9b)9=a-b；【巩固】 与的和被11除，商等于_与_的和。【解析】 (+）11=(10a+b)+(10b+a)11=(11a+11b)11=a+b。【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，原两位数最大时，十位数字至多为9，即，原来的两位数中最大的是94【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802求原来的四位数【解析】 设原数为，则新数为，根据题意，有，推知，得到，原数为1099【巩固】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为99(99)99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。【解析】 设这个巧数为，则有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为，因为，它们的和是：，所以，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而，所以最大的数最大为4；又，所以最大的数大于，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为： 所以，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为【巩固】 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】 卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（197）222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（167）222。这12个数的平均值是：（197）（167）22212573.5。【巩固】 从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【解析】 设这三个数字分别为a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222（abc）3330，推知abc15。所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。【巩固】 a，b，c分别是中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】 由，组成的六个数的和是因为，所以若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数为，符合题意若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数，但所求数为三位数，不合题意所以，只有时符合题意，所求的三位数为652【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a10b5（10a5）9，化简得ab4。变成的三位数只能是405，315，225，135。【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【解析】 设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0a,b9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338求这个四位数【解析】 设组成这个四位数的四个数码为， ()，则有，可得，则，且M的四位数字分别为1、9，由于的个位数字为7，所以，中有一个为7，但，所以不能为7，故，【例 5】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以a1， 则111b11cd13701111259，推知b2；进而推知c3，d=4所以=1234。【巩固】 (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少【解析】 设这样的四位数为，则，即，则或2若，则，得，；若，则，由于，所以，所以，故为9，则为偶数，且，故，由为偶数知，；所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于求原来的两位数【解析】 设原来的两位数是，则得到的两个三位数分别为和，四位数为，由题知，即，故【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【解析】 设这个数为x，则10x+5-x=，化简得9x=，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。【巩固】 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是多少？【解析】 设，则，根据题意，有，得，所以【例 7】 一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(例如，则102564就是“迎春数”)请你求出所有“迎春数”的总和【解析】 由于是把六位数的末位调到首位构成了新六位数，所以不妨把看成一个整体，设，则根据位值原理可知“迎春数”是，并满足关系式：对等式化简得：所以：因为是五位数，是一位数，所以可以为4，5，6，7，8，9而“迎春数”，那么，所有“迎春数”的总和是：【巩固】 (2008年“华杯赛”决赛)设六位数满足，请写出这样的六位数【解析】 令，则：，所以，可得此时可将，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当时，；当时，只有这两个数满足条件由于将可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行：，所以，则是整数设其为，则是整数，所以是999999的约数当，2，3，4，5，6，7，8，9时，分别为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时分别为1和4这样的六位数有111111和102564【例 8】 记四位数为，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为，如果，那么这样的四位数共有_个【解析】 得到，所以如果、组成的四位数末位数字不是0，那么等于将的千位数字加1，个位数字减1，反过来等于的千位数字减1，个位数字加1，所以为，与比较，和位置没有换，交换的是和，表示为，可以得到等式，即所以和的取值组合，只有2和1，3和2，9和8，共8种情况对于其中任意一种组合，由于是由四个数字组成的最小的四位数，分别考虑、中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则，)；以及、都不为0的情况(此时)，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能：，比如以，为例，可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数根据乘法原理，满足条件的四位数一共有种如果、组成的最小的四位数末位数字是0，显然的百位、十位都是0，此时、无法组成其它的四位数，不合题意由于每一个对应一个，所以满足条件的四位数共有48个【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数()将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数