虹口区2020-2021第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试 卷 （时间120分钟，满分150分） 2021.4一填空题（16题每小题4分，712题每小题5分，本大题满分54分）1已知集合，则 2_.3在的二项展开式中，常数项是 4某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于 5给出下列命题：若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直其中所有正确命题的序号为 6已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则 7若，则的值等于 （用表示）8设函数的定义域为.若对于内的任意,，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：；.其中“Z函数”的序号是 （写出所有的正确序号）9已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于()若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于_().10在平面直角坐标系中，定义，两点的折线距离.设点，若，则的取值范围 11已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组，则的取值范围是 12在数列中，对任意，当且仅当，若满足，则的最小值为_. 二选择题（每小题5分，满分20分）13双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ） 14已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）条件充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件 15复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ） 1个 2个 3个 4个16在平面上，已知定点，动点当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ） 三解答题（本大题满分76分）17（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）在三棱锥中，是线段的中点，是线段的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小18（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）设且，已知函数（1）当时，求不等式的解；（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围19（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、分别在、上设.（1） 若，求的边长； （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值.20（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知椭圆的方程为.（1） 设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程21（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质” （1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.虹口区2020-2021第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试题答案一. 填空题（16题每小题4分，712题每小题5分，本大题满分54分）1. ； 2. 1； 3. 20； 4. ； 5. ； 6. 4； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. 512； 二. 选择题（每小题5分，满分20分）13.； 14.； 15.； 16.；三. 解答题（本大题满分76分）17.（14分）解:（1）由，有，从而有， 且.3分又是边长等于的等边三角形， ， .又 ，从而有 ，.又，平面.7分（2） 过点作交于点，连.由（1）知平面，得，又，平面，是直线与平面所成的角.10分 由（1）证，从而为线段的中点，. 所以直线与平面所成的角的大小等于.14分注：用空间向量解答的相应给分18.（14分）解：(1)，不等式可化为若，则，解得，不等式的解集为.若，则，解得，不等式的解集为.综上所述：，的解集为；，的解集为.7分（2）.8分令，即，；.11分设， 得：，解得.14分19.（14分）解：（1）设的边长为千米.由，得，.在中，为等边三角，得,解得.所以的边长等于千米. 6分 （2）设的边长为千米.，8分在中，解得，当，时，.13分所以当时，的边长取得最小值为千米.14分20.（16分）解：解：（1）当时，直线即直线，与椭圆只有一个公共点.当时，由得，又，有，从而方程组只有一组解，直线与椭圆的有且只有一个公共点.4分（2）设，.则两条直线为，又是它们的交点，从而有，的坐标满足直线方程，所以直线：.8分直线的方程为，由解得，即，10分由得，由，得，得，相应的给分）（3）设.当直线与有一条斜率不存在时，.11分当直线与的斜率都存在时，设为和，由得，由，整理得，和是这个方程的两个根，有，得，所以点的轨迹方程是.16分21.（18分）解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，都存在正整数，使得，所以,解得或.3分所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且时，数列不具有“性质”.4分（2）对于任意正整数，存在正整数，使得，即，令，则.6分当且时，则，对任意正整数，由得,得，而是正整数，所以存在正整数使得成立,数列具有“性质”.8分当且时，取，则，正整数不存在，数列不具有“性质”.综上所述，且.10分（3）.对于任意的正整数,存在整数，使得得.12分对于任意的正整数,存在整数和，使得，两式相减得.当时，显然不合题意.当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.14分若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.16分当时，数列2，3，4，对任意正整数，由得,得，而是正整数，从而数列具有“性质”.当时，数列2，4，6，对任意正整数，由得,得，而是正整数，从而数列具有“性质”.综上所述或.18分虹口区高三数学本卷共4页第2页