习题解答习 题1.11试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x表示，则有，其中m为小包白糖的重量，为称量结果的误差限易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生2写出下列试验的样本空间（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 0 ，t 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标解（1）=（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）；（2）=0，1，2，3，；（3）=（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6).（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x，y）,则x，y应满足条件故此试验的样本空间为3将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 =“两次掷出的点数相同” ， =“点数之和为10” ，=“最小点数为4” 试分别指出事件 、 、以及 、 、 、 、 各自含有的样本点解 =(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6) ; =(4,6) ，(5,5) ，(6,4); =(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4);=(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6);=(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4);4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次， 记事件（k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼唤次数小于k” ，试用间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 解 (1) ；(2) ；(3) .5试用事件 、 、 及其运算关系式表示下列事件：（1）发生而不发生；（2）不发生但 、至少有一个发生；（3） 、 、中只有一个发生；（4） 、 、中至多有一个发生；（5） 、 、中至少有两个发生；（6） 、 、不同时发生解 (1)；(2)；(3)； (4) ； (5)； (6) 6在某大学金融学院的学生中任选一名学生若事件表示被选学生是女生，事件表示该生是大学二年级学生，事件表示该生是运动员（）叙述的意义（2）在什么条件下成立？（3）在什么条件下成立？ 解（1）该生是二年级女生，但非运动员（2）全学院运动员都是二年级女生（3）全系男生都在二年级7化简下列各事件：（1） ； （2）；（3） ；（4）（5） .解(1) ； (2) ；(3) ； (4) ； (5) .习题1.21已知事件 、 、的概率分别为0.4，0.3，0.6求解 由公式及题设条件得又 2设，求（1） 、 、中至少有一个发生的概率；（2） 、 、都不发生的概率。解（1）由已知，且有，所以由概率的单调性知再由概率的加法公式，得 、 、中至少有一个发生的概率为（2）因为“ 、 、都不发生”的对立事件为“ 、 、中至少有一个发生”，所以得 P（ 、 、都不发生）=1-0.625=0.375。3设 ， ， ，求) ， ， ) 解 . 由 得则 4设 、 、是三个随机事件，且有 ， ， = 0.8 ，求 解 因则又由知，于是5某城市共有 、 、三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢阅读报，34%的人喜欢阅读报，20%的人喜欢阅读报，10%的人同时喜欢阅读报和报，6%的同时人喜欢阅读报和报，4%的人同时喜欢阅读报和报，1%的人 、 、三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读报；（4）只喜欢读一种报纸.解 设 、 、分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读报 、报、报由题设知 （1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率 (3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率 (4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率6设，则下列说法哪些是正确的？ （1）和不相容；（2）和相容；（3）是不可能事件；（4）不一定是不可能事件（5）或；（6）。解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；又因为，所以（6）正确.习题1.31将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率解 设“3本外文书排在一起”。10本书总的排法有10！种；3本书排成一列共有3！种，将这3本书排列后作为一个元素与另外7本书在一起有8！种排法，所以，事件含有的样本点数为，故2假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解 设“能打开门”。样本空间的样本点总数是，事件含有的样本点数为，则3某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是5 ，末位是3 ，中间号不是0 ，只好试拨求其试拨一次即拨对的概率解 设“试拨一次即拨对”。由题意，样本空间的样本点总数为个，而正确的号码只有一个。因此4从装有5只红球4只黄球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同解（1）设“取到3只同色球”。任取3只球的样本点总数是，取到3只红球的样本点数是，取到3只黄球的样本点数是，取到3只白球的样本点数是，则（2）设“取到的球颜色各不相同”。任取3只球的样本点总数是，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则5将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出1球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率解（1）设“取到3只同色球”。 样本空间的样本点总数是，取到3只红球的样本点数是，取到3只黄球的样本点数是，取到3只白球的样本点数是，则设“取到的球颜色各不相同”。 任取3只球的样本点总数是，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则 6一部四卷的文集,按任意次序放到书架上,问各卷自左向右,或自右向左的卷号的顺序恰好为1,2,3,4的概率是多少?解 设=文集排列为1,2,3,4或4,3,2,1的次序，而一切可能的排列总数为有利于所讨论的事件的排序项序总数为k=2,即按1,2,3,4及4,3,2,1两种次序排列。则所求概率为=0.08337从5双不同的的鞋中任取4只,求这4只鞋中至少有两只配成一双的概率.解（1）设=“4只鞋中至少有两只配成一双，因为有利于事件A的取法总数为（即先从5双中任取一双，再在其余8只中任取2只的取法共有种。是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用中扣掉），所以有8两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率解 设=“前两个邮筒内没有信”。因为每封信有4种投法，所以两封信共有种投法，而所包含的样本点数为，从而9一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率解 设=“6位同学中有4个人的生日在同一个月份”。每位同学的生日可能是12个月份中的一个月份，6位同学的生日可能有种不同分布方式，而事件的样本点数为，于是，所求概率为 10某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解 设x,y分别表示两船到达某地的时刻,用A表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间 事件 显然这是一个几何概型，故 习题1.4设，问 (1) 什么条件下可以取最大值，其值是多少？（）什么条件下可以取最小值，其值是多少？解（）因为.要使最大，则需最大，当时， 可以取最大值，此时； (2) 因为 所以时，取最小值，此时 2设箱中有5个零件，其中2个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率解 设表示第i次取到合格品，则所求概率为3由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件）的概率为 ,刮风（记为事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为求解 由题设知 ，则4某工厂生产的产品中36 为一等品，54 为二等品，10 为三等品从中任意取出1件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率解 设“取出的产品为一等品”，“取出的产品为二等品”，“取出的产品为三等品”，则故所求概率为5 一批电子元件中，甲类的占80 ，乙类的占12 ，丙类的占8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9 、0.8和0.7 今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率解 设“任取一个元件为甲类”，“任取一个元件为乙类”，“任取一个元件为丙类”，“达到指定要求”，则有 故由全概率公式，有 6某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱 甲厂每箱装100个，废品率为0.06 ，乙厂每箱装120个，废品率是0.05 ，求：（1）任取一箱，从中任取1个为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混放，则任取1个为废品的概率为多少？解 （1）设“任取一箱为甲厂的产品”，“任取一箱为乙厂的产品”， “任取一个产品为废品”，则构成完备事件组，由全概率公式，有 （2）甲厂产品30箱，每箱100个，废品率为0.06，故共有甲厂产品个，其中次品个；乙厂产品20箱，每箱120个，废品率为0.05，故共有乙厂产品个，其中次品个；两厂产品混到一起，共有产品3000+2400=5400个，其中有次品180+120=300个，所以，从中任取一个为废品的