精品文档三、矩阵的若方标准型及分解- 矩阵及定理 1- 矩阵 A可逆的充分必要条件是行列式A是非零常数其标准型引理 2- 矩阵 A= aij的左上角元素 a11不为 0，并且 A中至少有一个元素不m n能被它整除， 那么一定可以找到一个与 A等价的 Bbijm n 使得 b110 且b11 的次数小于 a11的次数。引理 3任 何 非 零 的- 矩 阵 A=aij等 价 于 对 角 阵m nd 1d 2.d r0d1 , d2 ,.dr是 首 项 系 数 为1 的 多 项 式 ， 且.0di / di 1 ,i 1, ,2,3.r1引理 4等价的- 矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论 5- 矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论 6两个- 矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论 7- 矩阵 A 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论 8两个 mn的矩阵 A与 B等价当且仅当存在一个m 阶的可逆- 矩阵 P和一个 n 阶的- 矩阵 Q使得 BPAQ推论 9两个- 矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩。1 欢迎下载精品文档定理 10行列式因子设 - 矩阵 A等价于对角型- 矩阵 Bh1，若将 B的次数大于 1不变因子h2.初等因子.hn初等因子被不变因子唯一确定但，只要- 矩的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同化为对角阵，再将次数大于等于1 的阵 A的按照重复的次数计算）就是A 的全部初等因子。对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为 A的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。矩阵的若当定理 1两个 m n 阶数字矩阵 A 和 B 相似，当且仅当它们的特征矩阵E - A 与 E - B 等价N 阶数字矩阵的特征矩阵E - A 的秩一定是 n标准型因此它的不变因子有n 个，且乘积是 A 的特征多项式推论 3两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。定理 4每个 n 阶复矩阵 A 都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块求解若当标准型及可逆矩阵：根据数字矩阵的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的。写出特征矩阵， 化为对角阵后， 得出初等因子，根据初等因子，写出若当标准型，设（ ） ， 然 后 根 据-1AP得到，即PJAPPJ得 到A （ X 1，X 2， X 3）（ X 1，X 2，X 3）JP（ X1X2X3）方阵矩阵的最小定理 1矩阵 A 的最小多项式整除A 的任何零化多项式，且最小多项式唯一。N 阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式多项式无重根。2 欢迎下载精品文档定理 2矩阵 A 的最小多项式的根一定是A 的特征值，反之，矩阵的特征值一定是最小多项式的根。矩阵的若干设为阶复矩阵，则存在酉矩阵和上三角阵使得QR分解分解奇异值分解n 阶复矩阵， d1d2d3dr0 是的所有的非零奇异值，则存在设是 mHAQD 0其中， Dd1 .d r 是对角阵，等式阶酉矩阵、阶酉矩阵，使得P0 0AP D0 00 Q H 是的奇异值分解求的奇异值分解：根据数字矩阵得到B A H A ，根据特征矩阵得到特征值，1 2r， r 1n 并 计 算 出 每 个 特 征 值 对 应 的 特 征 向 量 ，求最小多项式： 根据数字矩阵写出特征多项式f E A ，根据特征多项式得到最小多项式的形式，然后根据（ A - 1E）A - 2EA - r E0 确 定 最小多项式。方 法 ： 根 据 数 字 矩 阵 A1 2 3 列 出1 23 ，正交化单位化后，得到1 2 3 ，即Q1 2 3 根据 AQR 得 R Q -1A 得 R。对于一个mn 阶复矩阵来说，阶方阵A H A 是半正定的，及特征值是全部大于或者等于，这些特征值的平方根便是的奇异值。3 欢迎下载精品文档12r， r 1n12r， r 1n正交化后1 ,2. r ,r 1. nQ1( 1 ,2. r )Q 2r 1. n则 A P D0 00 Q HQ （ Q1Q 2）D00P AQ 1D-1然后根据P2H和构造P 0 P 1P211P （ P1P2）满秩分解C m n且 R Ar 0 则存在列满秩矩阵C Cm r 和行满秩矩阵 DC r n求的满秩分解： 根据数字矩阵写出分块矩设 A使得阵（）进行初等行变换得（）其D- 1中0，根据求得的P 求出 P然后对P-1 （ 12）进 行 列 分 块 ， 得 到 1r 。则第二章 内积空间。4 欢迎下载实内积空间（欧氏空间）正交基及正交补正交变换对称变换复内积空间（酉空间）精品文档x1 1 x 2 2x n n y1 1y2 1N 维欧氏空间 V中两组不同基的度量矩阵是合同的。yn nx1x2.xn A y1 y2.ynTA 为过渡矩阵（对称且正定）（ 11）（12）（13）A （ 21）（ 22）（ 2 3）（ 31）（31）（33） 由欧氏空间 V 的任意一组基1 2. n 都可以构造出 V 的一组标准正交基。A是正交 阵A T A E A -1A TA的行列向量均是两两正交的单位向量 设 V1V2 是欧氏空间V 的两个正交基子空间，则V1+V2 是直和，两个子空间互为正交补（ A正交变换的等价条件证明：， A ）（ ， ）(1)T是正交变换（2)T 保持向量长度不变(3)若1， 2，. n 是标准正交基则T 1，T 2.T n 也是标准正交基(4)T 在任一标准正交基下的 矩阵是正交阵A， A酉空间两组标准正交基的过渡矩阵一定是酉矩阵A H AAA HE酉空间 V 的线性变换满足酉空间内变换的等价条件。5 欢迎下载精品文档A，酉对称变换（Hermite 变换）： A，, A定理：若A 是 n 阶方阵（ 1）若 A 是复矩阵，则 A 是正规阵，当且仅当 A酉相似于对角阵。即 存在酉矩阵 P使得 PH AP（ 2）若 A 是实矩阵，且 A 的特征值全是实数，则 A 是 正 规 阵 ，当 且 仅 当 正 交 相 似 于 对角 阵 ， 即存在正交矩阵P使得 PTAP推论：任一Hermite矩阵A 酉相似于对角阵，(1)T是酉变换（2)T 保持向量长度不变(3)若1， 2，. n 是标准正交基则T 1，T 2.T n 也是标准正交基(4)T 在任一标准正交基下的 矩阵是酉矩阵实对称矩阵： A TA反对称矩阵： A T-AHermite 矩阵： A HA正规矩阵 AA HA H A反 Hermite 矩阵 A H-A正交矩阵： AA