等腰三角形经典例题透析类型一：与度数有关的计算1如图，在ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，1=30，求2的度数。 思路点拨：解该题的关键是要找到2和1之间的关系，显然2=1+C，只要再找出C与2的关系问题就好解决了，而C=B，所以把问题转化为欲找出2与B之间有什么关系，变成ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。解析：AB=ACB =CAB=BD2=32=1+C 2=1+B2+3+B=180 B=180222=1+1802232=1+180 1=30 2=70总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三：【变式1】如图，D、E在ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若BAC=122，求DAE的度数。【答案】 BE=BA2=BAECD=CA1=CAD1+CAD+C=180 1=2+BAE+B=180 2=1+2=B+C=180BAC1+2=DAE=180（1+2） DAE=90=9061=29。【变式2】在ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，BAD=30，求EDC的度数。【答案】 AB=AC，AD=AEB=C，ADE=AEDADE+EDC=ADC=B+BADAED+EDC=C+BADAED=C+EDCC+2EDC=C+BADEDC=BAD=15。类型二：等腰三角形中的分类讨论2当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。思路点拨：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。解析：（1）因为8+810，10+108，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为 8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为 10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为 26cm或28cm。（2）当腰长为3时，因为3+37，所以此时不能构成三角形； 当腰长为 7时，因为7+73，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形举一反三：【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的 4倍，求它的各个内角的度数【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， 4x+4x+x=180， x=20， 4x=80，于是三角形的各个内角的度数为： 20，80，80。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， x+x+4x=180， x=30， 4x=120，于是三角形的各个内角的度数为： 30，30，120。故三角形各个内角的度数为 20，80，80或30，30，120。【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25，求这个三角形的各个内角的度数。【答案】设AB=AC，BDAC；（1）高与底边的夹角为25时，高一定在ABC的内部， 如右图， DBC=25，C=90-DBC=90-25=65， ABC=C=65，A=180-265=50。 （2）当高与另一腰的夹角为250时， 如右图，高在 ABC内部时， 当 ABD=25时，A=90-ABD=65， C=ABC=（180-A）2=57.5； 如下图，高在ABC外部时，ABD=25， BAD=90-ABD=90-25=65， BAC=180-65=115， ABC=C=（180-115）2=32.5 故三角形各内角为： 65，65，50或 65，57.5，57.5或115，32.5，32.5。 【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在 ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求底角B的度数。分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC相交有两种情形； 解：（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ADE=40， 则 A=900-ADE=50， AB=AC， B=（180-50）2=65。 （2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向 延长线交于点 D，ADE=40，则DAE=50 BAC=130，AB=AC，B=（180-130）2=25 故 B的大小为65或25。【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分成差为3cm的两部分，求腰长。【答案】如图， BD为AC边上的中线，AD=CD，（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3， BC=5 AB=BC+3=8；（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3， BC=5 AB=BC-3=2； 但是当 AB=2时，三边长为2，2，5； 而 2+25，不合题意，舍去； 故腰长为 8。类型三：证明题3（2011山东德州）如图 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由思路点拨：（1）根据全等三角形的判定方法，证明ACDABE，即可得出AD=AE，（2）根据已知条件得出ADOAEO，得出DAO=EAO，即可判断出OA是BAC的平分线，根据等腰 三角形三线合一可得OABC解析：（1）证明：在ACD与ABE中， A=A，ADC=AEB=90，AB=AC， ACDABE， AD=AE（2）互相垂直， 在RtADO与AEO中， OA=OA，AD=AE， ADOAEO， DAO=EAO， 即OA是BAC的平分线， 又AB=AC， OABC总结升华：在等腰三角形中，应用三线合一的性质是解决垂直问题的一种方法。举一反三：【变式1】已知：如图，ABC，ACB的平分线交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E。 求证：BDECDE。分析: 因为DEDFFE，即结论为BDECDFFE，分别证明BDDF，CEFE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。解析：DEBC， 32（两直线平行，内错角相等） 又 BF平分ABC 12 13 DBDF（等角对等边） 同理： EFCE， BDECDFEF 即BDECDE。【变式2】已知，在ABC中，ACB90，CD，CE三等分ACB，CDAB（如图所示）。 求证：（1）AB2BC； （2）CEAEEB。【答案】（1）CE、CD三等分ACB 12330 又 CDAB，B60，A30 在 RtABC中，A30，AB2BC（2）A130 CEEA 又BBCE60 BCE是等边三角形，ECEB CEEAEB【变式3】已知：如图，中，ABAC，ADCE，求的度数。分析：这道题综合考查了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形，使问题加以解决。解：在中，ABAC，为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）ACBC，在和中（SAS）（全等三角形对应角相等）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）【变式4】已知：如图，B、C、E三点共线，都是等边三角形，连结AE、BD分别较CD、AC于N、M，连结MN。求证：AEBD，MN/BE 分析：本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD；为证明MN/BE，可先证明三角形MNC为等边三角形，再利用角去转化证明。证明：，都是等边三角形BCAC，CECD，在和中（已证）（SAS）BDAE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）在和中（已证）（ASA）MCNC（全等三角形对应边相等）是等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）