第23讲高考题中的应用题解法 江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度，新高考(08年开始)以来，每年除了在小题(填空)考查外，都还有一道大题，其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题，2013年放在试卷的第18题，2009年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B级考点的综合应用，试题的难度属于中档题所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力解数学应用题的一般思路实际上就是(1) 读：理解文字(图形)表达的意图，分清条件和结论；(2) 建：进行语言转化(文字语言及图形语言转化为数学语言)，利用数学知识建立相应的数学模型；(3) 解：求解数学模型，得到数学结论；(4) 答：把用数学方法所得到的结论还原为实际问题，要符合实际意义高考数学应用题常见模型：(1) 函数应用模型：涉及最值问题；(2) 三角应用模型：涉及测量问题；(3) 不等式(组)应用模型：涉及优化问题；(4) 方程(组)及坐标系应用模型：涉及等量问题；(5) 数列应用模型：涉及年代及预测问题；(6) 立体几何模型：涉及空间图形问题；(7) 概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题1. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为_. 答案：2. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案：93. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD2x，梯形面积为S，则S的最大值是_答案：解析：建立坐标系，B点坐标为(1，1)，求出抛物线方程为x2y，得D点坐标(x，x2)，等腰梯形的高为1x2，S(1x2)，0x1，求导可以得到x时S取最大值.4. 某人于2009年7月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2010年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行取款和存款设银行一年定期储蓄利率r不变，则到2014年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有_元答案：题型一 通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2 m，ADAB，BCAB，且BC长1 m现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？解：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xOy，则圆弧DC的方程为x2y24(0x，y0)，设P(x，y)(0x)，圆柱半径为r，体积为V，则PE，2rAEx，则r， Vr2lx2，即V2x4(4x2)设tx2(0，3，则ut2(4t)，u3t28t3t，令u0，得t.当t3时，u0，u是减函数；当0t时，u0，u是增函数， 当t时，u有极大值，也是最大值， 当x m时，V有最大值 m3，此时y m.故裁一个矩形，两边长分别为 m和 m，能使圆柱的体积最大，其最大值为 m3.某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足： y与(ax)和x2的乘积成正比； x，其中m是常数若x时，ya3.(1) 求产品增加值y关于x的表达式；(2) 求产品增加值y的最大值及相应的x的值解：(1) 设yf(x)k(ax)x2，因为当x时，ya3，所以k8，所以f(x)8(ax)x2 ，x.(2) 因为f(x)24x216ax，令f(x)0，则x0(舍)，x. 当，即m1时，当x时，f(x)0，所以f(x)在上是增函数，当x时，f(x)0，所以f(x)在上是减函数，所以ymaxfa3； 当，即0m1时，当x时，f(x)0，所以f(x)在上是增函数，所以ymaxfa3. 综上，当m1时，投入万元，最大增加值a3；当0m1时，投入万元，最大增加值a3.题型二 通过建立不等式模型来解应用题例2 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异)(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 min，问：内、外环线应各投入几列列车运行？解：(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h，由题意可知6010v20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，列车的最小平均速度是20 km/h. (2) 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2 min，则t160，t260.于是有|t1t2|1x.又xN*，所以x10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min.如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛距地面的距离为 m.(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 m的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由解：(1) 作SC垂直OB于C，则CSB30，ASB60.又SA，故在RtSAB中，可求得BA3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m. 由SC3，CSO30，在RtSCO中，可求得OC.因为BCSA，故OB2，即立柱高为2 m.(2) 连结SM、SN，设SNa，SMb.在SON和SOM中，得a2b226.cosMSN.又MSN(0，), 则MSN.故摄影者可以将彩杆全部摄入画面题型三 通过建立三角模型来解应用题例3 在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC和灯柱AB所在平面与道路垂直，且ABC120，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知ACD60，路宽AD24 m设灯柱高ABh(m)，ACB(3045)(1) 求灯柱的高h(用表示)；(2) 若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值解：(1) ABC120，ACB， BAC60. BAD90， CAD30. ACD60， ADC90.在ACD中， ， AC16cos.在ABC中， ， AB16sin2，即h16sin2.(2) 在ABC中， ， BC32cossin(60)88cos28sin2.则SABBC88cos28sin2816sin(260) 3045， 120260150. 当45时，S取得最小值为(88)m. 如图所示，一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m，在圆环上设置三个等分点A1、A2、A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1、A2、A3、B均用细绳相连接，且细绳CA1、CA2、CA3的长度相等设细绳的总长为y.(1) 设CA1O (rad)，将y表示成的函数关系式；(2) 请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长解：(1) 在RtCOA1中，CA1，CO2tan，则y3CA1CB3(22tan)2.(2) y22.令y0，则sin.当sin时，y0；当sin时，y0. ysin在上是增函数， 当角满足sin时，y最小，最小值为42，此时BC m. 题型四 通过建立方程来解决应用问题例4 将52名志愿者分成A、B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗假定A、B两组同时开始种植(1) 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用 h，种植一捆沙棘树苗用 h应如何分配A、B两组的人数，使植树活动持续时间最短；(2) 在按(1)分配的人数种植1 h后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 h，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 h，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解：(1) 设A组人数为x，且0xF(20)所以当A、B两组人数分别为20、32时，植树活动持续时间最短(2) A组所需时间为13(h)，B组所需时间为13(h), 所以植树活动所持续的时间为3h. 为了迎接青奥会，南京在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y22x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BFDH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5 m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线(1) 求灯罩轴线所在的直线方程；(2) 若路宽为10 m，求灯柱的高解：(1) 由题意知，BF，则xA1.52，代入y22x得yA2，故A(2，2)设点A处的切线方程为y2k(x2)，代入抛物线方程y22x消去x，得ky22y44k0.则44k(44k)0，解得k.故灯罩轴线的斜率为2，其方程为y22(x2)，即y2x6.