第一讲 平方根【知识要点】1、平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0只有一个平方根是0； 负数没有平方根。2、算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。3、开平方 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即有意义的条件是a0。4、开平方与平方的关系：互为逆运算。5、（a0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。6、形如【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。； 64； 0.09； ； 0。例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根：； 0.0036； ； ； 例2、填空：（1）= ； （2）= ；（5）= ； （6）= ；（9）对于任意数x，= ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1） （2）（3）（4）例4、已知；求x+y的值。例5、已知，求xyz的值。例6、x为何值时，有意义。例7、已知的平方根是，的平方根是，求的平方根。例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为，他要用50块正方形的花岗岩。请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【拓展练习】一、选择题： 1一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。 A0B1 C1D0或1 2下列语句正确的是（ ）。 A4的平方根是2B0没有算术平方根 C-1的算术平方根是-1D3有两个平方根 3表示（ ）。 A5的平方根B5的算术平方根 C5的负的平方根D5开平方 49的平方根是3，用数学符号表示为（ ）。 A BCD 5以下各数没有平方根的是（ ）。 A BCD 6下列说法正确的是（ ）。 A的平方根是2B一定没有平方根 C0.9的平方根是0.3D一定有平方根二、填空题： 149的算术平方根是 ，平方根是 。 2 有两个平方根， 的平方根有且只有一个， 没有平方根。 3平方根是9的数是 。 4-5是 的负的平方根。 5的平方根是 ，算术平方根是 。 6有意义，那么x的取值范围是 。 7若，则x= ，若，则x= 。三、解答题： x为何值时，有意义。若，求的值。 解下列方程：（）； （）；6为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28，那么花坛的半径应为多少米？（取3.14）作业： 1下列各式中，正确的是（ ）。 AB CD一定有平方根 2平方根是的数是（ ） ABCD 3对于，当x 时，它有意义？ 4当一个数a的值为 时（在线上填入一个你认为合适的数），它有两个平方根，平方根是 。 5一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是 。 7求下列各式的值： （1）； （2）； 8解下列方程:（1）（2）（3） 9若，求的值。第二讲 立 方 根【知识要点】1、立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于a，即，那么这个数就叫做a的立方根。2、性质：正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。3、立方根的表示方法： 每个数a都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“”，读作“三次根号a”。4、开立方与立方的关系： 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 开立方与立方互为逆运算。记：5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。6、n次方根的定义： 如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。7、n次方根的性质： （1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根； （2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负。【典型例题】例1-1 下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来； （1）-27 （2） （3）0 （4） （5）-1 （6）-125 （7） （8）例1-2 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） 例2 求满足下列各式的未知数： （1） （2）（3） （4）例3 已知，求的值。例4 阅读下题，回答问题：已知，求的值。（2）若，求的值。例5 邦德学校教学楼顶上有一正方体水池，其体积为64米，求正方体底面积是多少平方米？例6 很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都早死了，人们找不到水喝，于是大家一同到庙里去向神祈求。神说，我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨水。大家觉得很好办，于是很已然做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍。可是神愈发恼怒，他说，你们竞敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的2倍，我要加倍惩罚你们！请大家想一想，新祭坛的体积到底是原祭坛的多少倍？要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍？【练习与拓展】一、选择题 1、如果-m是n的立方根，那么下列结论正确的是（ ） A、m也是n的立方根B、m也是-n的立方根 C、-m也是-n的立方根D、以上答案都不正确 2、的平方根与-8的立方根之和是（ ） A、0B、-4C、0或-4D、4 3、下列四个说法中： 1的算术平方根是1；的立方根是； -27没有立方根；互为相反数的两数立方根互为相反数 其中正确的是（ ）A、B、C、D、二、填空题 1、是 的立方根，是 的立方根。 2、的立方根是 。 3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。 4、一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 。 5、的平方根是 ，的立方根是 。三、求下列各式的值： （1）（2）（3）（4）四、已知，且，求的值。五、解答题 1、李师傅打算制作一个正方体水箱，使其容积是3.375，试问此木箱至少需多少木板？ 2、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少？（球的体积公式是）【课后作业】 1若，那么的值是（ ） A、64B、-1C、-125D、125 2若，则的值是（ ） A、B、C、D、 3平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身是 。 40.064的立方根等于 ，的立方根等于 。 581的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。 6求下列各式的值：（1）（2） 7求下列各式中的的值：（1）（2）（3）（4） 8希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为64，打算由一名建筑工人独立完成，已知该建筑工人一天可垒1米高，一天的工资为40元，问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱？第三讲 实数综合【知识要点】 1实数 有理数和无理数统称为实数，实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类 2实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如：的相反数为，倒数为，的绝对值为。 3实数与数轴上点的关系 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4实数的运算 （1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。 （2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。拓展练习：一、填空题 1在中，属于有理数的是 ，属于无理数的是 。2设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，则 。 3计算 ； 。 4化简： 。 5的相反数是 ；= 。 6若= 。 7计算 。 8比较大小： 。 9比较大小： 。 10若是4的平方根，则x=