张恭庆泛函分析题数 计 院张 秀 洲课后习题解答与辅导张 秀 洲二 0 0 九 年 三 月 一 十 日1.1.5 1.1.61.1.71.2.21.2.31.2.41.3.31.3.41.3.51.3.71.3.81.3.91.4.1 1.4.5-61.4.91.4.111.4.121.4.131.4.141.4.151.4.171.5.1证明：(1) () 若xint(E)，存在d 0，使得Bd (x) E注意到x + x/n x ( n )，故存在N N+，使得x + x/N Bd (x) E即x/( N/( 1 + N ) ) E因此P(x) N/( 1 + N ) 1() 若P(x) 1，使得y = a xE因qint(E)，故存在d 0，使得Bd (q) E令h = d (a - 1)/a，zBh (x)，令w = (a z - y )/(a - 1)，则| w | = | (a z - y )/(a - 1) | = | a z - y |/(a - 1) = | a z - a x |/(a - 1) = a | z - x |/(a - 1) 0，存在yE，使得| x - y | e/2因ny/(n + 1) y ( n )故存在N N+，使得| Ny/(N + 1) - y | e/2令z = Ny/(N + 1)，则zE，且P(z) N/(N + 1) 1，由(1)知z int(E)而| z - x | | z - y | + | y - x | 0，故Ax的各分量也非负但不全为零xC，设f (x) = (Ax)/( 1 i n (Ax)i )，则f (x)C容易验证f : C C还是连续的由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0C即f (x0) = x0，也就是(Ax0)/( 1 i n (Ax0)i ) = x0令l = 1 i n (Ax0)i，则有Ax0 = l x01.5.6证明：设B = uC0, 1 | 0, 1 u(x) dx = 1，u(x) 0 ，则B是C0, 1中闭凸集设max (x, y)0, 10, 1 K(x, y) = M，min (x, y)0, 10, 1 K(x, y) = m，0, 1 (0, 1 K(x, y) dy) dx = N，max x0, 1 | 0, 1 K(x, y) dy |= P令(S u)(x) = (0, 1 K(x, y) u(y) dy)/(0, 1 (0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx )则0, 1 (S u)(x) dx = 1，u(x) 0；即S uB因此S是从B到B内的映射u, vB，| 0, 1 K(x, y) u(y) dy - 0, 1 K(x, y) v(y) dy |= | 0, 1 K(x, y) (u(y) - v(y) dy | = max x0, 1 | 0, 1 K(x, y) (u(y) - v(y) dy | M | u - v |；因此映射u # 0, 1 K(x, y) u(y) dy在B上连续类似地，映射u # 0, 1 (0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx也在B上连续所以，S在B上连续下面证明S(B)列紧首先，证明S(B)是一致有界集uB，| S u | = | (0, 1 K(x, y) u(y) dy )/(0, 1 (0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx )| = max x0, 1 | 0, 1 K(x, y) u(y) dy |/(0, 1 (0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx ) (M 0, 1 u(y) dy |/(m 0, 1 (0, 1 u(y) dy) dx ) = M/m，故S(B)是一致有界集其次，证明S(B)等度连续uB，t1, t20, 1，| (S u)(t1) - (S u)(t2) | = | 0, 1 K(t1, y) u(y) dy - 0, 1 K(t2, y) u(y) dy |/(0, 1 (0, 1 K(x, y) u(y) dy) dx ) 0, 1 | K(t1, y) - K(t2, y) | u(y) dy /(m0, 1 (0, 1 u(y) dy) dx ) (1/m) max y0, 1 | K(t1, y) - K(t2, y) |由K(x, y)在0, 10, 1上的一致连续性，e 0，存在d 0，使得(x1, y1), (x2, y2)0, 1，只要| (x1, y1) - (x2, y2) | d，就有| K(x1, y1) - K(x2, y2) | m e故只要| t1 - t2 | d 时，y0, 1，都有| K(t1, y) - K(t2, y) | m e此时，| (S u)(t1) - (S u)(t2) | (1/m) max y0, 1 | K(t1, y) - K(t2, y) | (1/m) m e = e故S(B)是等度连续的所以，S(B)是列紧集根据Schauder不动点定理，S在C上有不动点u0令l = (0, 1 (0, 1 K(x, y) u0(y) dy) dx则(S u0)(x) = (0, 1 K(x, y) u0(y) dy)/l = (T u0)(x)/l因此(T u0)(x)/l = u0(x)，T u0 = l u0显然上述的l和u0满足题目的要求1.6.1 (极化恒等式)证明：x, yX，q(x + y) - q(x - y) = a(x + y, x + y) - a(x - y, x - y)= (a(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y) - (a(x, x) - a(x, y) - a(y, x) + a(y, y)= 2 (a(x, y) + a(y, x)，将i y代替上式中的y，有q(x + i y) - q(x - i y) = 2 (a(x, i y) + a(i y, x)= 2 (-i a(x, y) + i a( y, x)，将上式两边乘以i，得到i q(x + i y) - i q(x - i y) = 2 ( a(x, y) - a( y, x)，将它与第一式相加即可得到极化恒等式1.6.2证明：若Ca, b中范数| |是可由某内积( , )诱导出的，则范数| |应满足平行四边形等式而事实上，Ca, b中范数| |是不满足平行四边形等式的，因此，不能引进内积( , )使其适合上述关系范数| |是不满足平行四边形等式的具体例子如下：设f(x) = (x a)/(b a)，g(x) = (b x)/(b a)，则| f | = | g | = | f + g | = | f g | = 1，显然不满足平行四边形等式1.6.3证明：xL20, T，若| x | = 1，由Cauchy-Schwarz不等式，有| 0, T e - ( T - t ) x(t ) dt |2 (0, T (e - ( T - t )2 dt ) (0, T ( x(t )2 dt )= 0, T (e - ( T - t )2 dt = e - 2T 0, T e 2t dt = (1- e - 2T )/2因此，该函数的函数值不超过M = (1- e - 2T )/2)1/2前面的不等号成为等号的充要条件是存在lR，使得x(t ) = l e - ( T - t )再注意| x | = 1，就有0, T (l e - ( T - t )2 dt = 1解出l = (1- e - 2T )/2) - 1/2故当单位球面上的点x(t ) = (1- e - 2T )/2) - 1/2 e - ( T - t )时，该函数达到其在单位球面上的最大值(1- e - 2T )/2)1/21.6.4证明：若xN ，则yN，(x, y) = 0而M N，故yM，也有(x, y) = 0因此xM 所以，N M 1.6.51.6.6解：设偶函数集为E，奇函数集为O显然，每个奇函数都与正交E故奇函数集O E fE ，注意到f总可分解为f = g + h，其中g是奇函数，h是偶函数因此有0 = ( f, h) = ( g + h, h) = ( g, h) + ( h, h) = ( h, h)故h几乎处处为0即f = g是奇函数所以有 E O这样就证明了偶函数集E的正交补E 是奇函数集O1.6.7 证明：首先直接验证，cR，S = e 2p i n x | nZ 是L2c, c + 1中的一个正交集再将其标准化，得到一个规范正交集S1 = jn(x) = dn e 2p i n x | nZ 其中的dn =