数学建模习题解答第一章 部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：(1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r.(2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r和最大容量xm .7. 说明1.5节中Logistic模型（9）可以表示为，其中t0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t0与r，xm的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t)，t到t+t时间内人口的增量与xm-x(t)成正比（其中为xm最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离，设通过十字路口的距离为，汽车行驶速度为，则黄灯的时间长度应使距停车线之内的汽车能通过路口，即其中s1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为，将椅子旋转，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为，当在此岸时记，否则记，则此岸的状态可用表示。记的反状态为，允许状态集合为及他们的5个反状态决策为乘船方案，记作，当在船上时记，否则记，允许决策集合为记第次渡河前此岸的状态为，第次渡河的决策为，则状态转移律为，设计安全过河方案归结为求决策序列，使状态按状态转移律由初始状态经步达到。一个可行的方案如下：123456786(1). 分段的指数增长模型 根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段：1790年至1880年平均年增长率2.83%； 1890年至1960年平均年增长率1.53%； 1970年至2000年平均年增长率1.12% . 三段模型为（1790年为t=0，1880年为t=1， ）x1(t)=3.9e0.283t ，t=0,1, ,10 x2(t)=x1(10) e0.153(t-10) ，t=11,12, ,18 x3(t)= x2(18) e0112(t-18) ，t=19,20, ,22 6(2). 阻滞增长模型 可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r，取某些专家的估计400百万为最大容量xm，以1790年的实际人口为x0，模型为1.5节的(9)式。以上两个模型的计算结果见下表：年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4模型（1）3.95.26.99.112.116.121.328.3模型（2）3.95.27.09.412.616.722.229.3（续表）年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7模型（1）37.549.866.177.089.7104.6121.9142.0模型（2）38.449.964.181.2101.3124.1149.0174.9（续表）年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型（1）165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型（2）200.9225.8248.6268.7285.9300.17.注意到t=t0时, 立即可得，且， .8.其中r为比例系数。解上述初值问题得: ，如下图中实线所示：xmtx0x0xm/2当t充分大时，它与Logistic模型相近。9(3). 不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：8:00, 8:10, 8:20, , 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09, 8:19, 8:29, . 第二章部分习题3. 在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%9. 用宽布条缠绕直径的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其它形状呢16. 雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式17. 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻冲击波达到的半径与释放的能量，大气密度，大气压强有关（设时）用量纲分析方法证明，是未定函数参考答案3. 由模型假设3，划桨功率与体重成正比，而桨手数不变，所以2.5节（2）式改为。记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为，则。估计的大小：重量级组体重大，会使浸没面积增加，单艇身略大，又会使浸没面积减少，因而不会超过1.05。代入，可得.9. 将管道展开如图，可得，若一定，若管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为，若考虑两端的影响，则应加上，对于其他形状管道，只需将改为相应的周长即可 16. 设 解得于是，是未定函数.17. 设 解得 于是 .第三章部分习题1. 在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小3. 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。4. 在3.4节最优价格模型中，如果考虑到成本随着产量的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。7. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高（颈部以下），宽厚，设跑步距离跑步最大速度，雨速 ，降雨量，记跑步速度为，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，如图1建立总淋雨量与速度及参数之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。 （3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，如图2建立总淋雨量与速度及参数之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。 （4）以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。参考答案1. 设购买单位重量货物的费用为，对于不允许缺货模型，每天平均费用为，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为，利用，可求出的最优结果为 ，均不考虑费用时的结果减小.3. 不妨设，表示火势越大，灭火速度越小，分母中的1是防止时而加的，最优解为 .4. 不妨设，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为.7. 1) 全身面积，淋雨时间，降雨量，所以总淋雨量升2) 顶部淋雨量；雨速水平分量，方向与相反，合速度，迎面单位时间、单位面积的淋雨量，迎面淋雨量，所以总淋雨量。时最小，升。升。3) 与2）不同的是，合速度为，于是总淋雨量，若即，则时最小。否则时最小（见下图）当升最小，可与升相比.4) 雨从背面吹来，只要不太大，满足（即可），最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨.5) 再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化.第四章部分习题2. 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解3. 某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00,根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：时间段（时）9101011111212112233445服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元，问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？6. 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A，B），按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（%），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（%）,售价分别为9，15（千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求分别为100，200吨，问应如何安排生产？参考答案2. 将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别标号为1，2，3，4，5，6，7区，划出区与区之间的如下相邻关系图： 记为第区的大学生人数，用0-1变量表示区的大学生由一个销售代理点供应图书，否则,建该问题的整数线性规划模型 即 用LINDO求解得到：最优解为（其他为0）最优值为177千人.3. 设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12：00为午餐时间