2019年固体力学与岩石力学基础作业（创新班）第二章 应力分析2.1 有如图2.1所示三角形水坝，试列出OQ面（光滑面）的应力边界条件和OP面的应力边界条件。图2.1解：首先，在OP边上，边界条件为：x1=wx2x1x2=0式中，w为水的比重。其次，在OQ边界上，边界条件为：x1cos+x1x2sin=0x1x2cos+x2sin=0解答完毕。2.2 在物体中一点P的应力张量为（1）求过P点且外法线为的面上的应力矢量。（2）求应力矢量的大小。（3）求与之间的夹角。（4）求的法向矢量（5）求的切向矢量。解：（1）过P点，且外法线为n的应力矢量为：n=111213212223313233n=10-4030-40512-1212=12-42-32-2+52（2）n的大小为：n=12-422+-322+-2+522=3.17（3）根据向量关系的有关理论：cos=-1.16+0.75+1.093.171=0.21于是，夹角为：=arccos0.21=77.88（4）法向矢量为：n=12-42-32-2+5212-1212=0.68（5）切向矢量的求解：2=n2-n2=9.59于是有：=3.1解答完毕。2.3 通过同一点P的两个平面、，其单位法向矢量分别为及，这两平面上的应力矢量分别为及。证明（1）（2）如果在平面上，则在平面上。解：（1）证明：因为：(n1)=ijn1(n2)=ijn2所以有：(n1)n2=(n2)n1可以改写为：ijn1n2=ijn2n1由于：n1n2=cost（常数）所以，等式恒成立。证明完毕。（2）如果在平面上时，由几何关系知：(n1)n2=0根据（1）的证明，有：(n2)n1=0即，在平面上。解答完毕。2.4 如图2.2所示，变宽度薄板，受轴向拉伸载荷P。试根据柯西应力定理公式确定薄板两侧外表面（法线为）处横截面正应力和材料力学中常被忽略的应力，之间的关系。P图2.2解：由于，v=l,m,n=1101300031033由柯西公式得：n=vv=11l2+33n2+231ln=0进而，有：z=-231ln+11l2n2解答完毕。2.5 已知一点平面状态下的应力张量，求如图2.3所示斜面上的应力矢量。图 2.3解：n单位向量为：n=-sincos该斜面山的应力矢量为：n=11122122n=-11sin+12scos-21sin+22scos解答完毕。2.6 已知平面状态下一点的应力张量为，求坐标系面上的应力分量。解：n单位向量为：n=-sincos该斜面山的应力矢量为：n=11122122n=-11sin+12cos-21sin+22cos坐标转换矩阵：A=cossin-sincos于是，有：n=An=cossin-sincos-11sin+12cos-21sin+22cos解答完毕。2.7 已知中的应力张量，坐标系绕轴旋转角（）得到坐标系，随后坐标系绕轴旋转角（）得到坐标系，求坐标系中的应力张量。 解：对于第一次坐标转换：A=cossin0-sincos0001转换后的应力张量为：=AAT对于第二次坐标转换：B=1000cossin0-sincos转换后的应力张量为：=BBT=BAATBTBA=cossin0-sincoscoscossinsinsin-sincoscosATBT=cos-sincossinsinsincoscos-sincos0sincos解答完毕。2.8 如图所示的薄板在方向受均布拉伸载荷，在板的自由边上有一尖角突起，试证明在突起的尖点处应力张量为零，。解：在n1和n2面上，无面力作用，即：X=Y=0设，n1=(L1,M1)，n2=(L2,M2)。则，在n1边界上，由边界条件公式：L1x1x1+M1x1x2=0L1x2x1+M1x2x2=0在n2边界上，由边界条件公式：L2x1x1+M2x1x2=0L2x2x1+M2x2x2=0因为，C点既在n1边界上，又在n2边界上，所以既满足n1面的边界条件，又满足n2面的边界条件。解得：x1x1=x1x2=x2x2=0即处应力张量为零。解答完毕。2.9 证明：是不变量。解：从数学角度上讲，此类问题属于行列式的坐标转换问题。第一步证明，矩阵的所有特征值之和等于矩阵的所有对角线元素之和。写出行列式：E-ij根据定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和。要得到2只能取对角线上元素的乘积。-11-22-33所以特征多项式的2次项系数是 -11-22-33。而特征多项式=-1-2-3，2次项系数是-1-2-3。所以11+22+33=1+2+3。第二步证明，矩阵的特征值不随着矩阵坐标的转化而改变。设，坐标转换矩阵为C，进行坐标转换后的应力张量为：ij=CijCT由于坐标转换矩阵为正交矩阵，即：CT=C-1所以有：CTE-ijC=E-ij由于对矩阵进行初等变换之后，矩阵的特征值不变，所以有：E-ij=E-ij=0即，矩阵的特征值不随着矩阵坐标的转化而改变。综上所述，是不变量。关于应力张量不变量可以理解为：应力状态方程可写为：其中：I1=11+22+33方程的根代表主应力，它的大小和方向在物体的形状和引起内力的因素确定以后，是完全确定的，也就是说，它不会随着坐标的改变而改变。由于方程的根不变，故其系数也不变。解答完毕。