第一章 矢量分析重点和难点关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。至于正交曲面坐标系一节可以略去。考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容，阐述梯度、散度和旋度的物理概念。详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。至于格林定理，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁，还要涉及d 函数，如果学时有限可以略去。由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是惟一的两个源。所以，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。此外，还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。重要公式直角坐标系中的矢量表示：矢量的标积：代数定义：几何定义：矢量的矢积：代数定义：几何定义：标量场的梯度：矢量场的散度：高斯定理：矢量场的旋度：；斯托克斯定理：无散场：；无旋场：格林定理：第一和第二标量格林定理：第一和第二矢量格林定理：亥姆霍兹定理： ，式中 三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系：题 解第一章 题 解1-1 已知三个矢量分别为；。试求；单位矢量；及；及。解因则。1-2 已知平面内的位置矢量A与X轴的夹角为a，位置矢量B与X轴的夹角为b，试证证明 由于两矢量位于平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为已知，求得即1-3 已知空间三角形的顶点坐标为，及。试问：该三角形是否是直角三角形；该三角形的面积是多少？解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为；那么，由顶点P1指向P2的边矢量为同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为因两个边矢量，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。因，所以三角形的面积为1-4 已知矢量，两点P1及P2的坐标位置分别为及。若取P1及P2之间的抛物线或直线为积分路径，试求线积分。解 积分路线为抛物线。已知抛物线方程为, ，则 积分路线为直线。因,两点位于平面内，过,两点的直线方程为，即，则。1-5 设标量，矢量，试求标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数。解 已知梯度那么，在点处F 的梯度为因此，标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数为1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。证明 式（1-5-11）为，该式左边为即，。根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7 已知标量函数，试求该标量函数F 在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数F的梯度为那么将点P(1,2,3) 的坐标代入，得。那么，在P点的最大变化率为P点最大变化率方向的方向余弦为；1-8 若标量函数为试求在点处的梯度。解 已知梯度，将标量函数F代入得再将P点的坐标代入，求得标量函数F 在P点处的梯度为1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。证明 式（1-6-11）为，该式左边为即式（1-6-12）为，该式左边为；即1-10 试求距离在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解 在直角坐标系中在圆柱坐标系中，已知，因此在球坐标系中，已知,因此 1-11 已知两个位置矢量及的终点坐标分别为及，试证与之间的夹角g 为证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为已知两个矢量的标积为，这里g为两个矢量的夹角。因此夹角g为式中因此，1-12试求分别满足方程式及的函数及。解 在球坐标系中，为了满足即要求 ，求得即在球坐标系中，为了满足由于，即上式恒为零。故可以是r的任意函数。1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。证明 式（1-7-11）为 （为常数）令，则式（1-7-12）为令，则若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。1-14 试证 ，及。证明 已知在球坐标系中，矢量A的旋度为对于矢量，因，代入上式，且因r与角度q，f无关，那么，由上式获知。对于矢量，因，显然。对于矢量，因，同理获知。1-15 若C为常数，A及k为常矢量，试证： ； ； 。证明证明。利用公式，则而求得。证明。利用公式，则再利用的结果，则证明。利用公式，则再利用的结果，则。1-16 试证 ，式中k为常数。证明 已知在球坐标系中则即1-17 试证 证明 利用公式令上式中的，则将上式整理后，即得。1-18 已知矢量场F的散度，旋度，试求该矢量场。解 根据亥姆霍兹定理，其中；当时，则，即。那么因，求得则1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为，因此，该点在直角坐标下的位置为;z = 3同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，；可得该点在球坐标下的位置为；1-20 已知直角坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。解 由于的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为；求得；又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为将上述结果代入，求得即该矢量在圆柱坐标下的表达式为直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为；由此求得；矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为求得即该矢量在球坐标下的表达式为。1-21 已知圆柱坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er和ef均为变矢，所以不是常矢量。已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为将代入，得矢量A的旋度为已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为;又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为将上述接结果代入，得即该矢量在直角坐标下的表达式为，其中。矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，求得即该矢量在球坐标下的表达式为。1-22 已知圆球坐标系中矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er，eq，ef均为变矢，所以不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为将矢量A的各个分量代入，求得。矢量A的旋度为利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，求得该矢量在直角坐标下的表达式为利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系求得其在圆柱坐标下的表达式为。1-23 若标量函数，试求，及。解 1-24 若 试求，及。解 ；（此处利用了习题26中的公式） ；将矢量的各个坐标分量代入上式，求得1-25 若矢量，试求，式中V为A所在的区域。解 在球坐标系中， 将矢量的坐标分量代入，求得1-26 试求，式中S为球心位于原点，半径为5的球面。解 利用高斯定理，则1