第一章习题解答 1. 在下列各对数中，X是精确值的近似值（1） =，x=3.1 （2） =1/7，x=0.143（3） =/1000，x=0.0031 （4） =100/7，x=14.3试估计x的绝对误差和相对误差。解：（1） e=3.1-0.0416， r= e/x0.0143 （2） e=0.143-1/70.0143 r= e/x0.1 （3） e=0.0031-/10000.0279 r= e/x0.9 (4) e=14.3-100/70.0143 r= e/x0.0012. 已知四个数：x1=26.3，x2=0.0250， x3= 134.25，x4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算1= x1 x2 x3和1= x3 x4 /x1的相对误差限。解：x1=26.3 =3 x1=0.05 rx1=x1/x1=0.1901110-2 x2=0.0250 =3 x2=0.00005 rx2=x2/x2=0.210-2 x3= 134.25 =5 x3=0.005 rx3=x3/x3=0.37210-4x4=0.001 =1 x4=0.0005 rx4=x4/x4=0.5由公式：er（）= e（）/1/ni=1f/xixier（1）1/1x2 x3x1+ x1 x3x2 +x1 x2x3 =0.34468/88. =0.er（2）1/2-x3 x4/ x21x1+ x4/ x1x3 + x3 / x1x4 =0.497073. 设精确数0，x是的近似值，x的相对误差限是0.2，求x的相对误差限。解：rni=1f/xixi =1/x1/ xx=rx/x=0.2/x即r0.2/x4. 长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm2。解：S=2（xy+yz+zx）rS(x+y)z+(y+z)x+(z+x)y/xy+yz+zx x=y=zrz(x+y+z)x /xy+yz+zx1x17/61.06255.6. 改变下列表达式，使计算结果更准确。（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3）（4）7、计算的近似值，取。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。（1） （2）（3） （4） 解：计算各项的条件数 由计算知，第一种算法误差最小。解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。9、 通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。 解：浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，分布越稀疏。一般浮点数集的分布也符合此规律。10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。 解： 此算法是数值稳定的。 第二章习题解答1.（1） Rnn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。（2）Rnn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。设A是的正交矩阵。证明A-1也是的正交矩阵。证明：（2）A是的正交矩阵 A A-1 =A-1A=E 故（A-1）-1=A A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1 =E 故A-1也是的正交矩阵。设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。A非奇异 A可逆且A-1非奇异 又AT=A （A-1）T=（AT）-1=A-1 故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上（下）三角阵。证A-1也是单位上（下）三角阵。证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，A可逆，即A-1存在，记为（bij）nn 由A A-1 =E，则 （其中 ji时，） 故bnn=1, bni=0 (nj) 类似可得，bii=1 (j=1n) bjk=0 (kj) 即A-1是单位上三角阵综上所述可得。Rnn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。 A= 解：A= 故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。A1=， A2 解：A1=，|I- A1|= ， 解（1I- A）x=0 得 解（2I- A）x=0 得4、已知矩阵，求A的行空间及零空间的基。解：5、已知矩阵，试计算A的谱半径。解：6、试证明，其中。7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐标，其中1=（1，1，1，1）T， 2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。解：由x=sy得 y-4=s-1x=8、在中向量，取基，求。9、已知R3中两组基 S1=1，2，3=，S2=1 ，2 ，3 = 求从S1 到S2的过度矩阵； 设已知u=（2，1，2）T R3求u在S1 下的坐标和u在S2下的坐标。解： A= S1-1S2= 对u=（2，1，2）T 在S1 下，由u=S1x可求出x= S1-1u=在S2下，由u=S2x可求出x= S2-1u=10. 已知A=，求dim(R(A), dim(R(AT), dim(N(A).解：A=dim(R(A)=dim(R(AT)=r(A)=2dim(N(A)=n-r=4-2=211、已知A=span1,ex,e-x,D=是X上的线性变换，求 D关于基S1=1,2ex,3e-x的矩阵A； D关于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩阵B。解：由Dx=S1A,设A=X（1），X（2），X（3） D（1）=0，0= S1 X（1）=01+02 ex+03e-x, X（1）=(0,0,0)T D（ex）= ex ,ex= S1 X（2）=01+2 ex+03e-x, X（2）=(0, ,0)T D（e-x）= -e-x , -e-x = S1 X（3）=01+02 ex+3e-x, X（2）=(0, 0, )T 类似的可得D关于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩阵B为12、已知线性变换T：P2（t）P3（t）,定义T为T（P（t）=求线性变换T在基偶（S1=1,t,t2, S2=1,t，t2/2,t3/3）下的矩阵。 解：设所求矩阵为A，则有T S1 =S2A T（1）= T（t）= T（t2）= 13、设A Rmn,定义从Rn到 Rm的变换T为T：xRn y=Ax xRm试证明T是线性变换。证明： ，有 故，由定义知，T是线性变换。14、 已知R3中取基S1=，R2中取基S2=。线性变换T：R3R2 定义为x=（x1 ，x2 ，x3）T R3，Tx=（x2 +x3 ，x1 +x3）T R2.求 T在（S1 ，S2）下的矩阵A； 设u=（2，-3，2）T R3，u在S1 下的坐标和Tu在S2下的坐标。解： 由题知，T（S1）= S2A 对u=（2，-3，2）T在S1 下由可求出在S2下由可求出15、求由向量1=（1，2，1）T与2=（1，-1，2）T张成的R3的子空间X=span1,2的正交补 （即所有与X垂直的向量的全体）。 解：令解得 故 =16、 试证明若1，2，t是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则1，2，t必线性无关。证明：假设存在使 两边与作内积得 又（因 故故1，2，t必线性无关。17、计算下列向量的x ，x1和x2 。 x=（3，-4，0，3/2）T x=（2，1，-3，4）T x=（sink,cosk,2k）T k为正整数。 解：x= x= x= 18、证明：20、21、试计算，其中m, n是正整数。22、已知，试计算，。23、在上，由构造带权的首1正交多项式，和。解：24、给出点集及权，试构造正交函数组，和。25、。26、试求矩阵A的三角分解A=LU。 A=对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。解：A= 对选列主元的27、已知向量，试构造Gauss变换阵将向量x变为。解：。28、已知向量x=（1，2，2）T ，y =（0，3，4）T 。试构造Huuseholder阵H使H x为y的倍数，即H x=ky。给出变换阵H和系数k。29、对矩阵A=，用Huuseholder变换将A相似约化为三对角阵，即HAH为三对角阵。解：将向量变换为，则构造H阵为 30. 已知矩阵A=，使用Schmidt正交化法和Huuseholder方法对A正交分解A=QR。解： A= Schmidt正交化， 用Householder变换法 先将变为,则构造H阵为第三章习题解答1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。 解：(1) 经初等行变换化为当时，方程组有解，解为(2) 经初等行变换化为当时，方程组有解，解为2.证明下列方程组Ax=b当（1）时无解；（2）时有无穷多组解。解：(1) r(A)=3r(A,b)=4 当时无解；(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当时有无穷多组解。3.用列主元高斯消元法