二 控制系统的数学模型题2-1-1图2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压和位移为输入量；电压和位移为输出量；和为弹簧弹性系数；为阻尼系数。【解】：方法一：设回路电流为，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：削去中间变量，整理得：方法二：由于无质量，各受力点任何时刻均满足，则有： 设阻尼器输入位移为，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程结论：、互为相似系统，、互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2-2-2 试求题2-2-2图所示各电路的传递函数。题2-2-2图【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。(a) (b) (c) (d) 2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。通过孔板的流量与孔板前后的差压的平方根成正比，即，式中为常数，设系统在流量值附近作微小变化，试将流量方程线性化。【解】：取静态工作点，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项设（R为流动阻力），并简化增量方程为2-2-4 系统的微分方程组为：式中均为正的常数，系统的输入为，输出为，试画出动态结构图，并求出传递函数。【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：绘制方框图题2-2-4图传递函数为 题2-2-5图2-2-5 用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。2-2-6 系统方框图如题2-2-6图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数。 (a) (b)(c)(d)题2-2-6图【解】：(1)(2)(3)(4)（b）(1)(2)(3)(4)（c）(1)(2)(3)(4)(d) (1)(2)(3)(4)题2-2-7图2-2-7 系统方框图如题2-2-7图所示，试用梅逊公式求出它们的传递函数。【解】：（a）（1）该图有一个回路 （2）该图有三条前向通路所有前向通路均与回路相接触，故。（3）系统的传递函数为（b）（1）为简化计算，先求局部传递函数。该局部没有回路，即，有四条前向通路：所以 （2）题2-2-8图2-2-8 设线性系统结构图如题2-2-8图所示，试（1） 画出系统的信号流图；（2） 求传递函数及。【解】：（1） 系统信号流图如图：（2） 求传递函数。令。有三个回路：和互不接触： 因此 有三条前向通路： 求传递函数。令。求解过程同，不变。2-2-9 系统的动态结构图如图所示，试求题2-2-9图（1）求传递函数和； （2）若要求消除干扰对输出的影响，求【解】：（1）根据梅森增益公式得（2）根据题意2-2-10 某复合控制系统的结构图如图所示，试求系统的传递函数。题2-2-10图【解】：根据梅森增益公式得：2-2-11 系统微分方程如下： 试求系统的传递函数及。其中r，n为输入，c为输出。均为常数。【解】：（1）对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换,并加以整理得 （2）画出系统结构图 题2-2-11解图（3）求传递函数，令（4）求传递函数，令2-2-12 已知系统方框图如图所示，试求各典型传递函数。题2-2-12图【解】：（1）求。令（2）求。令（3）求。令