第9章 弹塑性动力分析9-1 概要非线性抗震分析方法可分为非线性静力分析方法和非线性动力分析方法。其中非线性静力分析方法(静力弹塑性分析)因其理论概念易于理解、计算效率高、整理结果较为容易等原因为设计人员所广泛使用。但是由于静力弹塑性分析存在反映结构动力特性方面的缺陷、使用的能力谱是从荷载-位移能力曲线推导出的单自由度体系的能力谱、不能考虑荷载往复作用效应等原因，在需要精确分析结构动力特性的重要结构上的应用受到了限制。近年因为计算机硬件和软件技术的发展，动力弹塑性分析的计算效率有了较大的提高，使用计算更为精确的动力弹塑性分析做大震分析正逐渐成为结构非线性分析的主流。9-1-1 动力弹塑性分析的运动方程包含了非线性单元的结构的运动方程如下。单元的非线性特性反映在切线刚度的计算上，且非线性连接单元的单元类型必须使用弹簧类型的非弹性铰特性值定义。(1)其中，M ：质量矩阵C ：阻尼矩阵KS ：非线性单元和非线性连接单元以外的弹性单元的刚度矩阵 ：节点的位移、速度、加速度响应p ：节点上的动力荷载fI ：非线性单元沿整体坐标系的节点内力fN ：非线性连接单元上的非线性弹簧上的沿整体坐标系的节点内力弹塑性动力分析属于非线性分析不能象线弹性时程分析那样使用线性叠加的原理，所以应使用直接积分法进行分析。程序中提供的直接积分法为Newmark-法，Newmark-是通过计算各时间步骤上位移增量并进行累加的方法。在各时间步骤上产生的残余力使用Newton-Raphson法通过迭代计算消除。使用时刻上的加速度和位移计算时刻的速度和位移的公式如下：(2)(3)将上述公式可重新整理成如下形式： (4)(5)位移、速度的增量可表现为如下形式。 (6)(7)(8)使用Newton-Raphson法迭代计算时的各迭代计算的增量为： (9)(10)因此，在时刻上的第(i)次迭代计算的位移、速度、加速度可按下面公式表示。 (11)(12)(13)在时刻的第(i)次迭代计算的运动方程如下。(14) 将式(14)代入式(12)、(13)可得关于增量位移的平衡方程。 (15)其中， : 有效刚度矩阵， ：各迭代计算步骤的有效荷载向量 ：非线性单元的切线刚度矩阵 ：各迭代计算步骤的位移增量向量：Newmark-法的参数9-1-2 静力法在时程荷载工况中选择“静力法”时表示在动力弹塑性分析中排除质量和阻尼的影响。该方法可用于计算初始荷载作用下初始状态分析或Pushover分析。需要注意的是动力弹塑性分析中要考虑重力荷载作用下的初始状态的作用，而重力荷载作用下的初始状态也需要考虑非线性效果。静力法中也将使用Newton-Raphson法，增量控制方法有荷载控制法和位移控制法。 静力法也支持不同的静力法时程荷载工况的接续分析，但是需要注意的是不同的静力法虽然可以采用不同的增量控制法，但是在下列两种情况下会发生不正确结果。1) 两个荷载控制法的静力法时程荷载工况的接续分析2) 位移控制法的静力法时程荷载工况后面接续荷载控制法的静力法时程荷载工况时整理可行与不可行的接续分析类型如下： 荷载增量法 位移增量法 (O) 荷载增量法 荷载增量法 (X) 位移增量法 位移增量法 (O) 位移增量法 荷载增量法 (X)荷载可以使用时变静力荷载(Time Varying Static Load)加载，此时时程函数的数据类型要选择“无量刚”。荷载增量法中的荷载因子由0到1线性增加。位移增量法中通过位移增量自动计算荷载因子。采用动力弹塑性分析功能中的静力法做Pushover分析的原因是程序中提供的梁、柱截面的纤维模型只支持动力弹塑性分析。9-1-3 初始内力状态程序中考虑重力荷载作用下的初始内力状态的方法有下面两种：1) 通过“静力法”非线性时程分析获得重力荷载作用下的非线性内力状态2) 通过初始内力表格输入初始内力 程序中考虑初始内力状态的方法是通过计算初始内力作用下的假想的变形，并通过假想的变形判断非线性构件的状态来实现的。详细的操作步骤如下(参见图2.9.1)1. 使用初始刚度计算初始内力作用下非线性铰的假想变形。a) 当在屈服面内时(弹性范围)直接使用初始内力。b) 当在屈服面外时通过滞回曲线计算对应的恢复力，且和仅计算一步。2. 解动力平衡方程计算位移增量。初始内力按内力输入并不包含在动力方程中。3. 使用位移增量利用数值积分方法计算。然后使用位移计算非线性铰的变形和恢复力。4. 为了判断非线性构件的内力状态使用滞回曲线，此时将铰的变形和初始内力考虑初始内力的结果进行修正：、。5. 使用修正的变形计算刚度和恢复力。6. 输出非线性铰的分析结果。7. 为了生成新的动力平衡方程，将变形和恢复力重新修正：、8. 生成新的动力平衡方程后重新回到步骤2重复上述步骤直到完成整个时间增量。(a) 初始内力在弹性范围内时 (b) 初始内力超过弹性范围时图2.9.1 对初始内力的处理方法9-1-4 非线性单元的初始刚度在动力弹塑性铰特性中定义非线性构件的初始刚度的方法有下列三种： 弹性：将弹性刚度作为初始刚度，集中型铰的弯矩成分初始刚度有6EI/L、3EI/L、2EI/L三个选项。 用户：用户可直接输入非线性构件的初始刚度。 骨架曲线：按输入的屈服强度和屈服变形计算初始刚度。弹性和用户两个选项的(+)、(-)区域具有相同的初始刚度。骨架曲线因为对(+)、(-)区域输入不同的屈服变形，所以可以具有不同的初始刚度，在原点指向型、弹性双折线、弹性三折线、弹性四折线铰类型中(+)、(-)区域的初始刚度直接按输入的值取不同的值，对于其它铰类型程序分析中取(+)、(-)区域的初始刚度的较大值。 9-1-5 牛顿-拉普森法在非线性时程分析的各时间步骤中因为非线性单元的刚度和内力的变化将产生残余力(Residual Force)，非线性分析中需要通过迭代计算消除残余力直至满足分析的精度要求。1. 进行迭代计算时使用Newton- Raphson法迭代计算直至消除残余力。2. 不进行迭代计算时将残余力作为荷载作用到下一个时间步骤中如图2.9.2所示程序中使用完全牛顿-拉普森法进行迭代计算消除残余力。迭代计算的收敛条件使用位移范数、荷载范数、能量范数，用户可选择多个范数作为收敛条件。各范数的计算公式如下： 、其中， ：位移范数 ：荷载范数 ：能量范数 ：第n次迭代计算阶段的有效荷载向量 ：第n次迭代计算阶段的位移增量向量 ：第n次迭代计算阶段累计的位移增量向量当结构的非线性特性比较显著时，按用户设定的最大迭代次数计算也有可能不能满足收敛条件，此时程序会重新回到初始状态细分时间步长重新分析。图2.9.2 牛顿-拉普森法9-2 非线性单元9-2-1 非线性梁单元梁单元公式使用了柔度法（flexibility method），在荷载作用下的变形和位移使用了小变形和平截面假定理论（欧拉贝努利梁理论，Euler Bernoulli Beam Theory），并假设扭矩和轴力、弯矩成分互相独立无关联。程序中可以考虑非线性梁单元的初始几何刚度矩阵的影响，但是不考虑几何刚度矩阵再分析过程中的变化。考虑初始几何刚度矩阵的方法是在荷载初始单元内力小位移初始荷载控制数据对话库中勾选考虑初始轴力对几何刚度的影响选项。结构的非线性分析要计算构件屈服后的变形，如果使用基于刚度法的单元非线性分析时的变形形状会与形函数产生差异。基于柔度法的单元不仅对单元形状而且对单元内力也使用形函数，所以使用柔度法的单元构件的内力变化会与实际相吻合。柔度法中内力使用线性形函数，刚度的变化为抛物线形状，这与为获得线性变化的曲率使用三次方程形函数的刚度法相比，柔度法可以使用较少的单元获得较为精确的结果，并且可提高计算效率。如下图所示，非线性梁单元根据铰的位置分为集中型铰模型和分布型铰模型。 (a) 集中型铰模型 (b) 分布型铰模型图2.9.3 铰位置集中型铰模型用于模拟地震作用下梁两端产生铰的情况，弯矩铰和剪切铰位移位于梁两端、轴力铰位于单元中央。弯矩铰的滞回曲线使用弯矩-旋转角关系曲线。 分布型铰是假设构件内有多个铰，然后对各位置是否进入弹塑性进行判断，对进入弹性塑性的铰更新铰的刚度，然后通过数值积分获得单元的刚度。分布型铰模型的滞回曲线使用截面的弯矩-曲率关系定义。 集中型铰相对于分布型铰具有计算量少的优点，但是如图2.9.4所示集中型铰需要事先假定铰的分布位置，当实际情况与假设情况不符时(如弯矩最大位置不是在假定位置)，计算结果有可能出错。另外集中型铰位于构件的两端，不能考虑非线性区域的扩展(只能通过分割单元后给很多单元分配铰实现)。分布型铰虽然计算量较大但是可以相对准确的反映铰的实际分布情况，因此可以得到更准确的分析结果。 程序中规定在同一个单元内各位置的铰使用相同的铰特性。因此在程序中虽然对单元的i、j端可以指定不同的铰特性，程序内部也是取的平均值计算的。所以对于变截面构件适当分割后取平均截面模拟时，分析结果也不会有太大差异。集中型铰模型集中型铰模型(Lumped Type Hinge Model)是将没有塑性铰长度的平动或旋转方向的非线性弹簧连接到单元的两端的方法。梁单元中除了端部弹簧以外的其它位置均处于弹性状态。集中型铰的轴力成分铰位于构件中央，弯矩和剪力成分铰位于构件两端。图2.9.4 集中型铰模型定义铰特性值时，轴力铰使用轴力-位移关系定义，弯矩铰使用弯矩-旋转角关系定义。具有集中型铰的梁柱单元的刚度矩阵可通过单元的柔度矩阵取逆获得。梁单元的柔度矩阵可使用铰的柔度矩阵和弹性梁的柔度矩阵相加而得。铰的柔度矩阵由用户定义的集中型铰的切线柔度矩阵和初始柔度矩阵的差计算，屈服前铰的柔度为零。铰的切线柔度矩阵可通过单轴或多轴滞回模型中获得(参见后面的说明)。其中，FH : 铰的切线柔度矩阵FH0 : 铰的初始柔度矩阵FS : 铰的柔度矩阵FB : 弹性梁的柔度矩阵F : 非线性梁柱单元的柔度矩阵K : 非线性梁柱单元的刚度矩阵图2.9.5 集中型铰的柔度弯矩铰的弯矩-旋转角的关系曲线不仅受端部弯矩的影响同时也受构件跨中的弯矩影响。因此为了准确定义弯矩铰的弯矩-旋转角关系需要事先假设弯矩在构件的分布状态。图2.9.6是各种弯矩假设和对应的构件初始刚度。图2.9.6 各种弯曲变形对应的初始刚度(单元长度=L、截面抗弯刚度=EI)分布型铰模型分布型铰模型(Distributed Type Hinge Model)的柔度矩阵由沿单元轴向分布的积分点位置的柔度构成。分布型铰的柔度矩阵使用高斯-罗贝托(Gauss-Lobbato)积分方法计算 。积分点位置的柔度使用单轴或多轴滞回模型的状态决定。分布型铰模型的各铰可使用纤维模型模拟。铰的轴力成分使用力-应变关系定义，弯矩成分使用弯矩-曲率关系定义。 在此，f(x) : 在位置x处的截面的柔度矩阵b(x): 在位置x处的构件内力分布函数矩阵F : 单元柔度矩阵K : 单元刚