第十三章 电磁感应 电磁场（Electromagnetic inductor）计算题13-1 .如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度沿垂直于导线的方向离开导线设t =0时，线圈位于图示位置，求 ： (1)在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量；（2）在图示位置时矩形线圈中的电动势。 题13-1图解：(1) (2) 依据法拉第电磁感应定律得13-2 如题图所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以dI /dt =2 A/s的变化率均匀增长。导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。（） 题13-2图解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程y =-2x + 0.2 (SI)取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为 2.5910-8 I (SI) 三角形线框中的感应电动势为 即电动势的大小为，方向为逆时针。13-3 题图所示,载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b，环心O与导线相距a。设半圆环以速度 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压。 题13-3图解：动生电动势为计算简单，可引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM, 闭合回路总电动势 负号表示的方向与x轴相反，所以13-4 求长度为L的金属杆在均匀磁场中绕平行于磁场方向的定轴OO转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场的方位角为，杆的角速度为，转向如题图(a)所示。题13-4图解：在距O点为l处的dl线元中的动生电动势为 所以，的方向沿着杆指向上端。13-5如题图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成角的方向移动。开始时，棒的A端到导线的距离为a，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。题13-5图解：如图建立坐标系，时刻在坐标为处取线元矢量元，则式中，所以， ，A端的电势高。13-6 如题图所示，长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长直导线共面，且adAB，dc边固定，ab边沿da及cb以速度无摩擦地匀速平动；时，ab边与cd边重合。设线框自感忽略不计。 (1)如i =I0，求ab中的感应电动势ab两点哪点电势高？ (2)如，求ab边运动到图示位置时线框中的总感应电动势。解：(1)直线上的磁场不均匀，建立坐标ox，x沿ab方向，原点在长直导线处，则x处的磁感应强度为 习题13-6图， （式中 i =I0）在坐标为处取线元矢量元，则ab中的感应电动势为 由于ab中的感应电动势的实际方向为，因此有。(2) 当时，以abcda作为回路正方向， 则：上式中， 于是 13-7 如题图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转，O1O2在离细杆a端L /5处，若已知地磁场在竖直方向的分量为。求ab两端间的电势差。 习题13-7图解：间的动生电动势和间的动生电动势分别为：，b点电势高于O点；，a点电势高于O点。 13-8长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环上滑动。棒端O和金属环之间接一电阻R，整个环面处于均匀磁场中，的方向垂直纸面向里，如题图所示。设t =0时，初角速度为；忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。求 (1) 当角速度为时金属棒内的动生电动势的大小； (2) 棒的角速度随时间变化的表达式。（提示：利用转动定律） 习题13-8图解(1) 对于金属棒OB，沿径向在半径为处取，利用公式，得 （2）设安培力作用在金属棒OB上的力矩大小为，则根据转动定律得则：，其中 13-9 一面积为S的单匝平面线圈，以恒定角速度在磁感强度的均匀外磁场中转动，转轴与线圈共面且与垂直（为沿z轴的单位矢量）。设t =0时线圈的正法向与同方向，求线圈中的感应电动势。 解：时刻线圈的正法向与之间的夹角为，则时刻线圈中的磁通量为 时刻线圈中的感应电动势为 13-10 如图所示，一半径为r2电荷线密度为的均匀带电圆环，里边有一半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2 r1)，当大环以变角速度绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流。其方向如何？ 习题13-10图解：大环中相当于有电流 ，该电流在O点处产生的磁感应强度大小 以逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为 感应电流为的方向：当时，i为负值，即i为顺时针方向：当时，i为正值，即i为逆时针方向。13-11 电荷Q均匀分布在半径为a、长为L ( L a)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转。一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上，如图所示。若圆筒转速按照的规律(和是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。 习题13-11图解：筒以旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流，它和通电流螺线管的nI等效依据长螺线管轴心磁场公式，筒内均匀磁场磁感强度为： (方向沿筒的轴向)筒外磁场为零。穿过线圈的磁通量为： 在单匝线圈中产生感生电动势为 感应电流i为当时，的流向与圆筒转向一致；否则，的流向与圆筒转向相反。 13-12 如题图（a）所示，有一弯成 角的金属架COD放在磁场中，磁感强度的方向垂直于金属架COD所在平面。一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度向右滑动，与MN垂直。设t =0时，x = 0。求下列两情形，框架内的感应电动势。 (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变； (1) 非均匀的时变磁场。解：(1) 如题图（a），因为 所以，由法拉第电磁感应定律可得 在导体MN内的方向由M向N。(2) 对于非均匀时变磁场。如题图（b），取回路绕行的正向为ONMO，则 ， ，则方向与所设绕行正向一致；，则方向与所设绕行正向相反。13-13 如图所示，真空中一长直导线通有电流(式中I0、为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a。矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b，并且以匀速(方向平行长直导线)滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感电动势 并讨论的方向。习题13-13图解：线框内既有感生又有动生电动势设顺时针绕向为的正方向先求任意时刻t的 。如图在线框中方向取一宽为的长方形面元，对该面元上的磁通进行积分即得， 根据法拉第电磁感应定律可得： 。（计算中利用了条件）。的方向： t 1时，顺时针。 13-14 在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为的均匀磁场，的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a R，如题图（a）所示。已知磁感强度随时间的变化率为dB /dt，求长直导线中的感应电动势，并说明其方向。（提示： 选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)。利用在过轴线的长直导线上，感生电场处处与之垂直的条件）题13-14图解：由问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场强在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。如题图（b）所示，选取过轴线且平行给定的无限长直导线的一条无限长辅助直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的辅助长直导线上，因感生电场处处与之垂直，所以该辅助长直导线上电动势为零。又在无限远处，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势。该回路的磁通量由电磁感应定律有：的正方向如图所示当时，的方向从左到右；时，的正方向从右到左。 13-15 题图所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM与LM，其间距离为l，左端与电动势为的电源连接，匀强磁场垂直于图面向里。一段直裸导线ab横嵌在平行导线间(并可保持在导线间无摩擦地滑动)把电路接通。由于磁场力的作用, ab将从静止开始向右运动起来。求 (1) ab能达到的最大速度；(2) ab达到最大速度时通过电源的电流I。解：(1) 导线ab运动起来时，切割磁感线，产生动生电动势设导线中电流为（假设从a到b），导线运动速度为，则ab上的动生电动势 ，由b指向a。 习题13-15图在由ab接通的电路中在磁场力作用下，不断增大，则i不断减小。当增大到某一值V时，总会出现此时，ab所受磁场力为零，其速度不再增加，导线作匀速运动，这也就是ab能达到的最大速度，即ab所能达到的最大速度为：(2) 这时电路中和电源中的电流均为零。13-16 如题图所示，在圆柱形的匀强磁场中，同轴地放置一个半径为，厚度为的金属圆盘，今使磁场随时间变化，为一常数，已知金属盘的电导率为。试求：金属盘内的总的涡电流。习题13-16图解：如题图，半径为的同轴圆柱面上各点的涡旋电场为：。涡旋电场的方向与的方向成左手螺旋关系。在半径（）间取高为的同轴柱壳。在该柱壳内，沿切向流动的涡电流大小为：故金属盘内总的涡电流为：由于金属盘内载流子为电子，所以当时，涡电流为反时针流动；当时，涡电流顺时针流动。13-17 两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为a和b，长为L (L a；a b)，匝数分别为N1和N2，求互感系数M。解：设半径为a的长螺线管中通入电流I，则管内的均匀磁场 通过半径为b的长螺线管的磁链为： 根据定义：13-18 真空中，一个半径r1 =1 cm，长度l1 =1 m的圈数为N1=1000的螺线管在它的中部与它同轴有一个半径r2 =0.5 cm，长度l2 =1.0 cm圈数N2 =10的小线圈。计算两个线圈的互感系数。(真空的磁导率) 解：设外圈线圈通过电流I1，由于，所以它在线圈中间产生的磁感强度为： 由于内线圈的r2 r1，l2 l1，所以可以认为B1均匀通过内线圈，从而得到通过内线圈的磁通链数为： 所以得两线圈的互感为： H13-19 真空矩形截面螺绕环的总匝数为N，尺寸如下图所示，求它的自感系数。