数学模型数学规划1. 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.解：基本模型决策变量：设生产x1百箱甲饮料，x2百箱乙饮料目标函数：设获利为z=10x+9y万元约束条件：原料和工人的数量均有限，6x1+5x260，10x1+20x2150，又有其他条件所限x18非负约束：x1，x2均不能为负值，即x10，x20综上可得：Max z=10x1+9x2 s.t. 6x1+5x260 10x1+20x2150 0x18 0x2编写Matlab程序如下：C=-10 -9;A=6 5;10 20;1 0;B=60 150 8;Aeq=;beq=;vlb=0;0;vub=;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：x = 6.4286 4.2857fval =-102.8571结果分析：若取整数箱饮料，则应该生产6百箱甲饮料，4百箱乙饮料，可最大获利96万元。进一步讨论：1）若投资0.8万元可增加原料1千克，设增加原料x3千克，则目标函数变为：z=10x1+9x2-0.8x3约束条件变为：s.t 6x1+5x2-x360 10x1+20x2150 0x18 0x2 0x3Matlab程序如下：C=-10 -9 0.8;A=6 5 -1;10 20 0;1 0 0;B=60 150 8;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;vub=;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：x = 8.0000 3.5000 5.5000fval =-107.1000结果分析：因为107.1000 102.8571，所以投资增加原料可以使得最大获利增加，商家应该考虑进行这项投资。2） 若每百箱甲饮料获利可增加1万元,则目标函数变为:z=11x1+9x2考虑解除甲饮料产量不超过8百箱的约束，则约束条件变为：s.t 6x1+5x260 10x1+20x2150 0x1 0x2Matlab程序如下：C=-11 -9;A=6 5;10 20;1 0;B=60 150 8;Aeq=;beq=;vlb=0;0;vub=;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：x =8.0000 2.4000fval =-109.6000结果分析：因为109.6000 107.1000 102.8571，所以甲饮料的生产可以使得获利增加，商家应该考虑改变生产计划。2. 某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台每季度的生产费用为f(x)=ax+bx2（元），其中x是该季生产的台数若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释解：基本模型决策变量：设第1，2，3季度分别生产x1，x2，x3台发动机，第1，2季度末分别有存货40-x1，x1+x2-100台，第3季度末无存货目标函数：设总费用为z=a(x1+x2+x3)+b(x12+ x22 +x32)+c(x1-40)+(x1+x2-100)约束条件：生产的发动机应该在第3季度末全部卖出，则有x1+x2+x3=180；同时要保证第1，2季度能供货且有能力生产，要求x140，x1+x2100,100x1,100x2,100x3非负约束：x1,x2,x30综上可得：Max z= a(x1+x2+x3)+b(x12+ x22 +x32)+c(x1-40)+(x1+x2-100) s.tx1+x2+x3=180 x1+x2100 x1400x1,x2,x3100Matlab程序如下：a=50;b=0.2;c=4;H=diag(2*b*ones(1,3);C=a+2*c,a+c,a;A=-1,0,0;-1,-1,0;B=-40,-100;Aeq=1 1 1;beq=180;vlb=0 0 0;vub=100 100 100;x,z=quadprog(H,C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：x = 50.0000 60.0000 70.0000z = 11840得到最优整数解，工厂应安排第1，2，3季度分别生产50，60，70台发动机以既满足合同又使总费用最低。进一步讨论参数a，b，c对生产计划的影响：1）、固定b，c不变，a变化（分别取a20，60），仍运行上述程序，结果为：ax1x2x3z20506070588060506070130802）、固定a，c不变，b变化（分别取b0.15,0.5），结果为：bx1x2x3z0.1546.76073.3107270.5566064145443）、固定a，b不变，c变化（分别取c2，6），结果为：cx1x2x3z255606511230645607511310结果分析： 由于生产总量是恒定的，即x1+x2+x3=180，而z=a(x1+x2+x3)+b(x12+ x22 +x32)+c(x1-40)+(x1+x2-100)，故a的变化不会影响生产计划；b是x的二次项的系数，它反映了生产费用。当b比较大时，生产费用占主导地位，x1,x2,x3应趋于相等；而当b较小时，贮存费占主导地位，此时应使每季度的贮存量较少。c反映了贮存费。当c较大时，贮存费占主导地位，此时应使贮存量尽量少；而当c较小时，生产费用占主导地位，x1,x2,x3应趋于相等。3.一基金管理人的工作是，每天将现有的美元、英镑、马克、日元四种货币按当天汇率相互兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高设某天的汇率、现有货币和当天需求如下：美元英镑马克日元现有量需求量美元1.589281.743138.386英镑1.69712.9579234.713马克.57372.33808179.34681日元.007233.00426.01261010问该天基金管理人应如何操作(“按美元计算的价值”指兑入、兑出汇率的平均值，如1英镑相当于=1.696993美元)解：基本模型决策变量：因为日元现有量为0，故不予以考虑。设该天基金管理人兑换操作如下：美元英镑马克日元现有量（108）需求量（108）美元x1x2x3x486英镑x5x6x7x813马克x9x10x11x1281y1，y2，y3分别表示英镑、马克、日元按美元计算的价值y1=(1.697+(1/0.58928)/2y2=(0.57372+(1/1.743)/2y3=(0.007233+(1/138.3)/2目标函数：Max z=x1+x2*0.58928*y1+x3*1.743*y2+x4*138.3*y3+x5*1.697+x6*y1+x7*2.9579*y2+x8*234.7*y3+x9*0.57372+x10*0.33808*y1+x11*y2+x12*79.346*y3约束条件：需满足需求量，同时各种货币的数量是有限的非负约束：x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x120总上可得：Max z= x1+x2*0.58928*y1+x3*1.743*y2+x4*138.3*y3+x5*1.697+x6*y1+x7*2.9579*y2+x8*234.7*y3+x9*0.57372+x10*0.33808*y1+x11*y2+x12*79.346*y3s.t x1+x2+x3+x4=8 x5+x6+x7+x8=1 x9+x10+x11+x12=8 x1+1.697x5+0.57372x96 0.58928x2+x6+0.33808x103 1.743x3+2.9579x7+x111 138.3x4+234.7x8+79.346x1210Matlab程序如下：y1=(1.697+(1/0.58928)/2;y2=(0.57372+(1/1.743)/2;y3=(0.007233+(1/138.3)/2;C=-1, -0.58928*y1, -1.743*y2, -138.3*y3, -1.697,-y1, -2.9579*y2, -234.7*y3, -0.57372, -0.33808*y1, -y2, -79.346*y3;A=-1 0 0 0 -1.697 0 0 0 -0.57372 0 0 0;0 -0.58928 0 0 0 -1 0 0 0 -0.33808 0 0;0 0 -1.743 0 0 0 -2.9579 0 0 0 -1 0;0 0 0 -138.3 0 0 0 -234.7 0 0 0 -79.346;B= -6,-3,-1,-10;Aeq=1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 ;0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1;beq=8 1 8;vlb=zeros(1,12);vub=;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：x = 2.9090 5.0910 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000