抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。=点M到直线的距离范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦 点弦 长焦点弦的几条性质oxFy以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为，则若的倾斜角为，则 切线方程一 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k0时， 0，直线与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线与抛物线相切，一个切点； 0，直线与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线： 抛物线， 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得a. 在涉及斜率问题时，b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为， 即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 。（,1）2、已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 。3、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 。4、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 。5、抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是 。6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为 。7、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。8、在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是 。9、在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。10、抛物线上的点到直线距离的最小值是 。 11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 。3212、若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 。=0,-12时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（1）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（2）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解: （1）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线上，所以 而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.(2)由(1)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 x0