专题六 函数与方程中的等高线一、问题的提出【2015高考天津理8】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）设,借助地理中的名词,我们把称作函数的等高线,利用函数的等高线求解与交点横坐标有关的问题,也是高考的一个热点,求解这类问题一般要借助函数图象和函数性质,综合性较强,对解题能力要求较高,故此类问题难度较大,一般作为客观题压轴题出现.下面我们就来探讨这一类问题的解法.二、问题的探源首先给出上面一题的解法：由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.从上面的解法我们可以看出,解决此类问题一般要先画出函数的图象,再根据图像探讨函数的性质,然后利用函数性质进行求解,类型主要有以下3种：1.对称性求解等高线对应的交点横坐标之和.求解此类问题常用的一个结论是：若关于直线对称,则；2. 对称性求解等高线对应的交点横坐标之积.求解此类问题常用的结论是：若直线与函数有两个不同交点,则,对任意等 ；3. 求等高线对应的交点横坐标函数的范围.求解此类问题一般是把所给式子转化为关于某一交点横坐标的函数,再由图象确定该交点横坐标的范围,然后利用函数或不等式求范围.三、问题的佐证1.对称性求解等高线对应的交点横坐标之和【例1】已知函数,且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根,则的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）【解析】根据函数图像可得,由于,因此,故应选C.【例2】【2014上海,理12】设常数a使方程在闭区间0,2上恰有三个解，则 . 【答案】2. 对称性求解等高线对应的交点横坐标之积；【例3】已知,是互不相同的正数, 且,则的取值范围是（ ）A B C D【解析】不妨设,由图像知,所以,选D.【例4】设函数,且关于的方程恰有个不同的实数根,则的取值范围是 （ ）A B C D【解析】 首先画出函数的图像,如下图所示.由图可知,满足方程恰有个不同的实数根,且,其的取值范围为.由题意知,是的根,即,所以,且,所以,故应选.3. 求等高线对应的交点横坐标函数的范围.【例5】已知函数,若存在常数使得方程有两个不等的实根,（）,那么的取值范围为（ ）A B C D【点睛】本题是分段函数,因此分段求得函数的值域后,结合函数图象可得,结合求值式,因此可变为一个二次函数,由二次函数知识可得范围在解函数问题时,函数图象可帮助我们得出结论,得出解题方法,帮助我们寻找到解题思路4. 已知零点运用等高线求参数的范围.【例6】【2015高考湖南】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数 函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，故答案为：.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解【例7】【2014江苏】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有【点晴】研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决图像的应用常见的命题角度有：(1)确定方程根的个数；(2)求参数的取值范围； (3)求不等式的解集.四、问题的解决1已知,若、互不相等, 且,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】不妨令,要满足,则有,故选C.【评注】本题主要考查了函数的图象,三角函数的图象,对数函数的性质等知识点本题的有两个关键点：一是关于对称,由此得到；二是值域满足,可得由此可得第二是本题的难点,本题也可结合函数的图象来研究本题难度中等2.已知函数,若函数恰有三个互不相同的零点,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】 A【解析】不妨设,由图像得,所以,当时,所以的取值范围是,选A.【评注】（1）运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.3记表示中较小的数,比如.设函数,若（互不相等）,则的取值范围为（ ）A B C D【答案】.A【评注】在涉及到函数的零点,方程的解的范围,方程解的个数问题时通常采用数形结合法,把方程解转化为两函数图象的交点（较多是直线与函数图象交点）,通过图象观察结论,寻找方法4.【2015高考北京】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）A BC D【答案】C【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集选C【点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式 等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把沿轴向左平移2个单位，得到的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.5已知,若,则实数的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】设,作出函数的图象如图所示,由图知由,得,所以令,则令,得令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以又因为当时,所以,故选A6. 【2014湖北卷10】已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【点睛】将含绝对值的函数、函数的奇偶性、分段函数和不等式等内容联系在一起，凸显了知识之间的联系性、综合性，体现了函数思想、转化与化归的数学思想在函数问题中的应用，能较好的考查学生的作图能力和综合能力.其解题的关键是正确地画出分段函数的图像并通过函数图像建立不等关系.7已知函数,若存在实数,满足,且,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】. B【解析】在平面直角坐标系中,作出函数的图象如图所示：因为存在实数,满足,且,所以由图象知：,当时,直线与函数的图象有个交点,直线越往上平移,的值越小,直线直线越往下平移,的值越大,因为当时,当时,所以的取值范围是,故选B8. 已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】画出函数的图象,如图,结合图象可知,所以,因,故的取值范围是,故应选B【评注】函数的图象是函数的定义域和值域在平面直角坐标系中具体体现,是数形结合的平台和桥梁本题考查的是函数图象在确定函数的图象交点中运用问题解答时充分利用题设中所提供的有效信息进行分析和判断,其目的是检测运用所学知识分析问题和解决问题的能力及运用数形结合的思想解答问题思维意识解答本题的关键是能认识到四个根之间具有这两个关系,从而将问题进行化归为求函数的值域问题9函数ym有两个零点,则m的取值范围是_【答案】（0，1）【解析】在同一直角坐标系内,画出y1和y2m的图象,如图所示,由于函数有两个零点,故0m1.10. 【2015高考安徽】在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 .【答案】 【解析】在同一直角坐标系内，作出的大致图像，如下图：由题意，可知11.先看下面一道试题：已知函数,若,互不相等,且,则的取值范围是 .【答案】（10,12）【解析】作出函数的图象如图所示,不妨设,则,所以,则,故选A.12.已知函数,若方程有四个不同的实数根（其中）,则的取值范围是_【答案】13. 【2014天津高考】已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_【答案】【解析】（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点把代入，得，即，由，得，解得或又当时，与仅两个交点，或（方法二）显然，令，则，结合图象可得或14.【2016高考山东理数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】 - 1 -