概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念2样本空间、随机事件1事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生 称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生 称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件发生 ，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 ，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2运算规则 交换律 结合律分配律 徳摩根律3频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1概率满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A （2）规范性：对于必然事件S （3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有（可以取）2概率的一些重要性质：（i） （ii）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）（iii）设A，B是两个事件若，则，（iv）对于任意事件A，（v） （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B有4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即，里5条件概率（1） 定义：设A,B是两个事件，且，称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有 2。规范性：对于必然事件S， 3可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有（3） 乘法定理 设，则有称为乘法公式（4） 全概率公式： 贝叶斯公式： 6独立性定义 设A，B是两事件，如果满足等式，则称事件A,B相互独立定理一 设A，B是两事件，且，若A，B相互独立，则定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与第二章 随机变量及其分布1随机变量定义 设随机试验的样本空间为是定义在样本空间S上的实值单值函数，称为随机变量2离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量满足如下两个条件（1），（2）=12 三种重要的离散型随机变量（1）分布 设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是，则称X服从以p为参数的分布或两点分布。（2）伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果：A与，则称E为伯努利实验.设，此时.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。 满足条件（1），（2）=1注意到是二项式的展开式中出现的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。（3）泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为 其中是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为3随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 称为X的分布函数分布函数，具有以下性质(1) 是一个不减函数 （2） （3）4连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数，使对于任意函数x有则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度具有以下性质，满足（1）；（3）；（4）若在点x处连续，则有2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为 (2)指数分布若连续性随机变量X的概率密度为 其中为常数，则称X服从参数为的指数分布。（3）正态分布若连续型随机变量X的概率密度为的正态分布或高斯分布，记为特别，当时称随机变量X服从标准正态分布5随机变量的函数的分布定理 设随机变量X具有概率密度又设函数处处可导且恒有，则Y=是连续型随机变量，其概率密度为第三章 多维随机变量1二维随机变量定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是和是定义在S上的随机变量，称为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量（X，Y）的分布函数如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。我们称为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。对于二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负可积函数f（x，y），使对于任意x，y有则称（X，Y）是连续性的随机变量，函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。2边缘分布二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为，依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。 分别称为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。 分别称，为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。3条件分布定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若则称为在条件下随机变量X的条件分布律，同样为在条件下随机变量X的条件分布律。设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为，若对于固定的y，0，则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为=4相互独立的随机变量 定义 设及，分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有，即，则称随机变量X和Y是相互独立的。对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数5两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度.则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为或又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为则 和这两个公式称为的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度，则仍为连续性随机变量其概率密度分别为又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为则可化为 3设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为由于不大于z等价于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互独立，得到的分布函数为的分布函数为第四章 随机变量的数字特征1数学期望定义 设离散型随机变量X的分布律为，k=1,2，若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为，即 设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为，即定理 设Y是随机变量X的函数Y=(g是连续函数)（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2，若绝对收敛则有（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为，若绝对收敛则有数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有2设X是随机变量，C是常数，则有3设X,Y是两个随机变量，则有；4设X，Y是相互独立的随机变量，则有2方差定义 设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为D（x）即D（x）=，在应用上还引入量，记为，称为标准差或均方差。方差的几个重要性质1设C是常数，则有2设X是随机变量，C是常数，则有，3设X,Y是两个随机变量，则有特别，若X,Y相互独立，则有4的充要条件是X以概率1取常数，即切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望，则对于任意正数，不等式成立3协方差及相关系数定义 量称为随机变量X与Y的协方差为，即而称为随机变量X和Y的相关系数对于任意两个随机变量X 和Y，协方差具有下述性质12定理 1 2 的充要条件是，存在常数a,b使当0时，称X和Y不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布， 二项式分布，泊松分布几何分布均匀分布，指数分布正态分布第五章 大数定律与中心极限定理1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理） 设X1，X2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望.作前n个变量的算术平均，则对于任意，有定义 设是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数，有，则称序列依概率收敛于a，记为伯努利大数定理 设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0，有或2中心极限定理 定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差（k=1,2，），则随机变量之和， ，定理二（李雅普诺夫定理） 设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差记定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量）的二项分布，则对任意，有