第一章 行列式 1.3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列当n2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。偶排列与奇排列各占一半。4 （1）不是行列式的项 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，应带负号（2）不是行列式的项 = 因为它的列排排列逆序列(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数应带正号。 5 解： 利用为正负数来做，一共六项，为正，则带正号，为负则带负号来做。6 解：（1）因为它是左下三角形=（2）=+=0（3）=32（4）=7.证明：将行列式转化为若 零元多于个时，行列式可变为故可知行列式为0.8.（1）5=55习题一13 （1）根据“定义法”（2）根据“降阶法”（3）注：根据范达蒙行列式原式= -1=（4）=14 （1）证明：(2)证明： （3）（4）“递推法”15.(1) =+=(ab+1)(cd+1)-a(-d)=(ab+1)(cd+1)+ad(2) =(4-6) (-1-15)=32(3) =+=-a(c-d) -a(d-b) -a(d-c) =abd= abd(c-b)(d-b)(c-d)(4) = =( =16. 范达 行列式V()=（1） 因为为常数。所以p(x)是n-1次的多项式（2） 令p(x)=0.得x=.x=.即p(x)的根为第二章 矩阵代数4. 计算下列矩阵乘积（1） =(2) =(3) . (1,-1，2）=（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=（9，4，1）（4） （x,y,1） =（x,y,1）=（5）=5. 设A=，B=，求=6.(1) A=n=1时 A=n=2时 =n=3时 =A=假设 （1当n=1时，= （2假设当n2时（n为自然数）成立，令n=k，则=成立； 当n=k+1时 =A=成立综上当n微自然数时当n=1时，当n=2时，当n=3时，假设=当n=1时 =假设n=k+1时=成立综上当n为自然数时，当A=2时 n=3时 n=4时 n=5时 假设n时成立 当n=3时 假设n=k时成立 当n=k+1时 =整理得成立所以综上 =7、已知B=证明E,当n为偶数； B,当n为奇数证明：=E,当n为偶数； B,当n为奇数8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。证明：设两个n阶上三角形矩阵为A,B,且A= B=根据矩阵乘法，有AB=则可知AB为上三角形矩阵同理，可得BA也为上三角形矩阵。9、若AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C为同阶矩阵，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.证：设A=，B=，C=由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为mn阶矩阵，则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵 10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA，证明：（1）（2）（3） 11、 12、 证明 13、 14、 15、 当n=1时，当n=2时，当n=3时，假设=当n=1时 =假设n=k+1时=成立综上当n为自然数时，当A=2时 n=3时 n=4时 n=5时 假设n时成立 当n=3时 假设n=k时成立 当n=k+1时 =整理得成立所以综上 =16、（1）解：设 由得：得（2）设由，得：得：（3）设由方程组，得：得（4）设得得：（5）设得得19、（1）解：方程组的解为：（2）方程组的解为：（3）方程组的解为：（4）有且仅有或时，无意义；则其他情况方程组的解为：（4）（5）由得(6)24.证：A为对称矩阵 A=A AA=AA=E AA(A) =E(A) A=(A) A为可逆对称矩阵 （A） =(A) A=(A) 可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。25.证：（1）（A）=(AA)=AA A为n阶对称矩阵 A=A （A）=A A为对称矩阵 (B)=(BB)=B B B是n阶反对称矩阵 B=-B （B）=(BB)=BB B是n阶反对称矩阵 B=-B (B )=(-B)(-B)=B B是对称矩阵 （AB-BA） =(AB)-(BA) =BA-AB =-BA-A (-B) =AB-BA AB-BA为对称矩阵。（2）必要性：AB为反对称矩阵 （AB）=-AB 又（AB）=BA=-BA AB=BA 充分性: AB=BA (AB)=BA=-BA AB为反对称矩阵 综上所述：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。26.解：设矩阵X为x= 则= Ax=o=0 即=0 对任意n1矩阵都成立 A=027.证： A为正交矩阵 =A A= = = 又正交矩阵为可逆矩阵 A=A ： A= = = A = = = = A28.解： = = 时 依次用V左乘和用U右乘消去得从而得证29.解：（1）判断X可逆即： 因A、C可逆， 则即则X可逆。 （2）设则 由 = =E 30.证明： 31.解：（1） 原式= (2) （3） 第三章 线性方程组1. 证：假设线性相关， 则不会为0，使得 整理得： 又由，故 由于 故由克莱默法则知： 故结论正确。2. 解： 得： 3、不一定。原式：故仅可得到线性无关将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关例如向量成比例或含有零向量例：或任一一个为零向量4、不正确 使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的，所以不可以做那样的公式提取即5、提示：含有零向量就一定线性相关 极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出，因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组6.证：假设线性相关， 由题意知，必存在一组使得 7.证：设 由于 6、证明：假设线性相关，则，线性相关（部分相关则全体相关）所以存在m+1个不完全为0的数满足本来线性相关，故可为0，可不为0（1） 则无法用线性表出（2） 而线性相关，根据定义，至少有一个向量可用其他m-1个向量表出，我们不妨设则这样得到了的另一种表出式，即表出不唯一综上，假设成立条件下得到的结论与“可用唯一表出”矛盾故假设不成立，线性无关7、将A表示为，B表示为若线性无关，则必有同理可证AP117 T8解：（1）由此r=3解：（2）由此r=2解：（3）由此r=3解：（4）由此r=2解：（5）由此r=3解：（6）由此r=5T9 解（1）：设向量组线性相关，则由，得： -由，得： = ，= 代入式，得：线性无关由此r=410（1）证：由线性相关则必有一组不全为0的数使得既有：从中