专题2 函数（2）一、填空题例1 已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围是 答：提示：，不等式对任意都成立，例2 设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是 答：提示：直线，的斜率分别为，由题设得在上有解，令，则例3 已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递减区间为 答：提示：由得例4 已知函数在为增函数，为减函数，则 答：提示：，由题设得，经检验满足例5 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为 答：提示：函数存在单调递减区间，在上有解从而，又，或例6 已知函数，其中若函数仅在处有极值，则的取值范围是 答：提示：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解得这时，是唯一极值例7 若函数满足，且当时，则的大小关系为 答：提示：由，得函数的图象关于直线对称又当时，恒成立，在上为增函数 ，且，)，即例8 若函数满足，则方程的实数解的个数为 个答：提示：设，则由题设知，在内至少有一个零点又，易知时，单调递增；时，单调递减仅有一个零点，即方程仅有一根例9 如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点现从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；，则 答：提示：设点的坐标是，曲线在点处的切线方程是令，则（）， 例10 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记的面积为，则的最大值是 答：提示：设，则记，则令，得当时，单调递增；当时，单调递减当时，取最大值，即取最大值，且最大值为例11 已知函数函数，其中若存在，使得成立，则实数的取值范围是 答：提示：当时，；当时，单调递增，综上，当时，又当时，故为单调增函数，存在，使得成立，的值域与的值域满足若，则或，解得或，从而满足题意的实数的取值范围是例12 已知,若对一切的恒成立，则实数a的取值范围为 答：提示：，则设，则，单调递增；，单调递减对一切，恒成立，例13 若函数对任意，都有，则实数的取值范围是 答：提示：当时，函数在上是增函数，又函数在上是减函数，不妨设，则，所以等价于，即设，则等价于函数在区间上是减函数，在时恒成立，即在上恒成立，即不小于在区间内的最大值而函数在区间上是增函数，所以的最大值为，又，所以例14 已知都是定义在上的函数，（a0且，在有穷数列中，任意取正整数，则前k项和大于的概率是 答：提示：由题意知得或又知，数列的前k项和为，可求出二、解答题例15 设函数在上是增函数（1）求正实数的取值范围；（2）设，求证：解：（1）对恒成立，对恒成立 又，（2）由（1）知在上是增函数，即设函数，在上是增函数，又，当时，即综上所述，例16 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：；.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？解：（1）设奖励函数模型为yf(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立.（2）对于函数模型：当时，是增函数，则.恒成立. 函数在上是减函数，所以不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型：当时，是增函数，则.恒成立. 设，则.当时，所以在上是减函数，从而.，即，恒成立.故该函数模型符合公司要求.例17 已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足（1）求；（2）设，求函数在上的最大值；（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1），函数的图像关于直线对称，则直线与轴的交点为，且，即，且，解得，则（2），其图像如图所示当时，根据图像得：（）当时，最大值为；（）当时，最大值为；（）当时，最大值为（3），当时，不等式恒成立等价于且恒成立由恒成立，得恒成立当时，又当时，由恒成立，得，实数的取值范围是例18 已知函数（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由解：（1）由，得，令，得或列表如下：000极小值极大值由，即最大值为， （2）由，得，且等号不能同时取，恒成立，即令，求导得，当时，从而，在上为增函数，（3）由条件，假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， ，是否存在等价于方程在且时是否有解若时，方程为，化简得，此方程无解；若时，方程为，即，设，则，显然，当时，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上