物理与电子信息学院期中论文论文目录1 摘要12 关键词13 引言14 理论15 参考文献 138英文摘要13全文共 15 页 2,148 字复变函数论（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师：xxx摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。2复变函数2.1.1复数与复数运算2.1.1.1复数的基本概念Z=x+iy (1.1.1)这叫作复数的代数式，x和y则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res和Imz。复数z可表示为三角式和指数式，即 叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。2.1.2 复数的运算复数由此明显可见加法的结合律和交换律成立。 商的定义n次幂应用 n次根号的应用 2.1.2复变函数2.1.2.1复变函数定义 一般地，当z=x+iy在复平面上变化时，如果对于z的每一个值，都有一个或几个复数值相对应，则称为z的复变函数。写作： =f（z）=u（x，y）+iv（x，y）为了更好的理解这个定义，我们需要了解以下概念：区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。2.1.2.2区域的定义 区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中的任何两点都可以用一条曲线连接起来且线上的点全属于该点集。闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。邻域：以Zo为圆心，以任意小正数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为Zo的邻域。内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该点叫作E的内点。外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则该点叫作E的外点。境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则该点为境界点，境界点的全体称为境界线。2.1.2.3复变函数例 2.1.3导数设是在z点及其邻域定义的单值函数.若在z点存在，并且与的方式无关则称在z点可导.可导的充要条件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏导数存在、连续，且满足C-R条件 。（点解析一定可导，可导不一定解析；区域等同）3复变函数的积分3.1.1复变函数的积分f(z)都用实部和虚部表出，所以复变函数的路积分有如下性质: 1.常数因子可以移到积分号之外. 2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和. 3.反转积分路径,积分变号. 4.全路径上的积分等于各段上积分之和. 5.积分路径不仅依赖于起点和终点还与积分路径有关.3.2.1柯西定理 单通区域柯西定理（无孔无洞） 复通区域柯西定理 总结起来，柯西定理说的是1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零，2. 闭复通区域上的解析函数沿着所有外境界线正方向积分为零，3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。3.3.1不定积分若 函数F(z)在单通区域B上解析，则沿B上任意一路L的积分的值只跟起点和终点有关而与路径无关。记作 3.4.1柯西公式 例一、计算积分 I, 其中 C 为不经过点 0 和 1 的正向曲线。解： (1) 如果 0 和 1 都不在C 中，则被积函数解析，因此, 由 Cauchy 定理得 I=0; (2) 若仅 0 在 C 内, 函数 在 C 上及 C 包围的区域解析，由 Cauchy 积分公式，得到 （3）若仅 1 在 C 内, 函数在 C 上及 C 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到(4) 若 0 和 1 都在 C 内，由Cauchy 定理而在 上及 包围的圆内 解析，同样，在 上及 包围的圆内 解析，故利用 Cauchy 积分公式，有上面的结果得最后，我们有：其中 D 为曲线 C 包围的区域。4. 幂级数展开4.1.1复数项幂级数设有复数项的无穷级数柯西收敛判据成立，这就是说，复数项级数收敛的充分必要条件是，对于任一给定的小正数，必有N存在，使得nN时， P为任意正整数。4.2.1幂级数 其都是复习常数，这样的级数叫作以为中心的幂级数。应用正项级数的比值判别法（达朗贝尔判别法）可知 绝对收敛，引入记号R 4.3.1泰勒级数展开定理 设f(z)在以为圆心的圆解析，则对圆内任意z点，f(z)可展开为幂级数, 为圆内包含且与同心的圆。4.4.1洛朗级数展开定理 设f(z)在环形区域解析，则对圆环内任意z点，f(z)可展开为幂级数. 其中 ，积分路径为位于环内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。例1、求和在 z=0 邻域的 Taylor 展开。故收敛半径类似收敛半径例2、在的邻域将展开。解：其中于是例3、在的邻域将展开解： 5留数定理设函数在回路所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，则5.1.1留数定理 将洛朗级数逐项积分 右边各项除去的一项全是零，而的一项里的积分等于，于是 而洛朗级数的项的系数，叫作函数 在 点的留数。通常记作，这样， 留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B上除有限个孤立奇点 设函数在回路所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，则留数定理将回路积分归结为被积分函数在的回路所围区域上个孤立奇点留数之和。一阶：M阶：例1：求在其奇点的残数。解：单极点 2i, 三阶极点0z=2i z=0 *例2或例3考一类。例2：解：例3：解：单极点 ， 5.2.1应用留数定理计算实变函数定积分类型一 被积函数是三角函数的有理式，积分区间是。作自变数代换 则类型二 ，积分区间是，复变函数在实轴上没有奇点，在上 半平面除有限个奇点外是解析的，当z在上平面时，。 则类型三 积分区间是，偶函数F(x),奇函数G（x）在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当z在上平面时， 。 同理6 傅里叶变换6.1.1傅里叶级数 6.1.1.1 周期函数的傅里叶展开若函数以为周期，即 =则可取三角函数族作为基本函数族，将展开为级数 =+ （2）三角函数族正交，其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，可以求得（2）中的展开系数为其中 （3）狄里希利定理：若函数满足条件：（1）处处连续或在每个周期中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期中只有有限个极值点则级数（2）收敛，且级数和=（4）6.1.2.1奇函数及偶涵数的傅里叶展开 1.若周期函数是奇函数，则由傅里叶的计算公式（3）可见及均等于零，展开（2）为 = 这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为 2.若周期函数为偶函数则展开式为 =+ 这叫做傅里叶余弦级数。由于对称性，其展开系数为 =6.2.1傅里叶积分与傅里叶变换 6.2.1.1实数形式的傅里叶变换 设为定义在区间上的函数，一般来说，它是非周期的，不能展为傅里叶级数。所以我们将非周期函数看作是某个周期函数于周期时的极限情形.这样，的傅里叶级数展开式 =+ （5）引入不连续参量=（=0,1,2，） ，=-=这样（5）式称为 =+ （6）傅里叶系数为 对与系数，若有限，则 =当时（5）的余弦部分为正弦部分为于是（5）式的形式为 =上式称为傅里叶积分。其中 此式称为的 福利叶变换式。6.2.1.2奇函数的傅里叶积分是傅里叶正弦积分 = 是的傅里叶正弦变换 满足条件2. 偶函数的傅里叶积分是傅里叶余弦积分 =是的傅里叶余弦变换 满足条件6.3.1.函数 6.3.1.1函数的定义 対于质点，点电荷，瞬时力这类集中于空间某一点的某一瞬时的抽象模型，在物理学中引入函数一描述其密度： . .6.3.2.1函数的一些性质 是偶函数. . .6.3.3.1函数的广义函数参考文献【1】梁昆淼 数学物理方法 高等教育出版社 2009-06【2】杜珣 数学物理方法 高等教育出版社 1995-08- 3 -