数理统计练习题 1设是总体的样本，已知，未知，则不是统计量的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. 选C. 2设总体为来自的样本，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：相互独立且均服从 故 即 则 选C. 3设是总体的样本，和分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： ， B错 . A错. 选C. 4设是总体的样本，是样本均值，记 ，则服从自由度为的分布的随机变量是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 选B. 5设是来自的样本，为其样本方差，则的值为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 由分布性质： 即 选C. 6设总体的数学期望为是来自的样本，则下列结论中正确的是（ ）. （A）是的无偏估计量； （B）是的极大似然估计量； （C）是的一致（相合）估计量； （D）不是的估计量. 解：是的无偏估计量. 选A. 7设是总体的样本，是样本均值，是样本方差，则（ ）. （A）； （B）与独立； （C）； （D）是的无偏估计量. 解：已知总体不是正态总体 （A）（B）（C）都不对. 选D. 8设是总体的样本，则（ ）可以作为的无偏估计量. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 选A. 9设总体服从区间上均匀分布，为样本， 则的极大似然估计为（ ） （A）； （B） （C） （D） 解： 似然正数 此处似然函数作为函数不连续 不能解似然方程求解极大似然估计 在处取得极大值 选C. 10设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ）解：，所以是的无偏估计，应选（A）.11设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度为的置信区间为 （A） （B） （C）（D） 解：因为方差已知，所以的置信区间为 应选D.12设总体 X N ( m , s2 ),其中s2已知，则总体均值的置信区间长度L与置信度1-的关系是(a) 当1- 缩小时，L缩短.(b) 当1- 缩小时，L增大.(c) 当1- 缩小时，L不变.(d) 以上说法均错.解：当s2已知时，总体均值的置信区间长度为当1- 缩小时，L将缩短，故应选（a)13设总体 X N ( m1 , s12 ), Y N ( m2 , s22 ) ,X和Y相互独立，且 m1 , s12 ，m2 , s22 均未知,从X中抽取容量为n1 =9的样本，从Y中抽取容量为n2 =10的样本分别算得样本方差为 S12 =63.86， S22=236.8对于显著性水平=0.10（0 1）,检验假设H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 则正确的方法和结论是 (a) 用F检验法,查临界值表知F0.90(8 ，9)=0.40, F0.10(8,9)=2.47 结论是接受H0(b) 用F检验法,查临界值表知F0.95(8,9)=0.31, F0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝H0 (c) 用t检验法,查临界值表知t0.05(17)=2.11结论是拒绝H0 (d) 用2检验法,查临界值表知2 0.10(17)=24.67结论是接受H0解：这是两个正态总体 均值未知时，方差的检验问题，要使用F检验法。在假设H0 : s12 = s22 是双侧检验问题，选(b)14机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n1和n2的样本，并且已知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是(a) H0 : m 1 = m 2 ； H1 : m 1 m 2 (b) H0 : m 1 = m 2 ； H1 : m 1 m 2 (c) H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 (d) H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 分析：为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C)15在求参数的置信区间时，置信度为90%是指（ ）（a） 对100个样品，定有90个区间能覆盖 （b） 对100个样品，约有90个区间能覆盖 （c） 对100个样品，至多有90个区间能覆盖（d） 对100个样品，只能有90个区间能覆盖 答：选(b)16收集了n 组数据 画出散布图，若n 个点基本在一条直线附近时，称这两变量间具有（ ）（a） 独立的关系 （b） 不相容的关系 （c） 函数关系 （d） 线性相关关系 答：选(d)17设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：, , , ）解： 即 ，亦即 .18设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为_. 解：的置信度下的置信区间为 所以的置信区间为（）.19最小二乘法的基本特点是使回归值与的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是。答：实际观测值；函数的极值原理。20某单因子试验，因子A 有 2 个水平，水平 A1下进行 5 次重复试验，在水平A2下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（ ）。答：10数理统计的基本概念 1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布. 解 样本的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 ， 2加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 解 零件的加工时间为总体，则，其概率密度为 于是样本的密度为 3证明若，则 证 因，所以可表示为，其中相互独立，且均服从，于是 4已知，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是 .5设是来自正态总体的简单随机样本，求常数，使得. 解 所以当时6设是分布的容量为的样本，试求下列统计量的概率分布： （1）； （2） 解 ， ，所以 （1） （2） 7设是来自总体的样本，试求统计量的分布。 解 ，于是 8从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应多大？ 解 即 ，查正态分表得即.故样本容量至少应为35。 9求总体的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解 设和为两个独立样本的均值，则，于是即 . 参数估计 1对某一距离进行5次测量，结果如下： （米）.已知测量结果服从，求参数和的矩估计. 解 的矩估计为，的矩估计为 ， 所以 2设总体具有密度 其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，求的矩估计 解 ，解出得 于是的矩估计为 . 3设总体的密度为 试用样本求参数的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计：解出得 所以的矩估计为 . 再求极大似然估计： ， ， ，解得的极大似然估计： . 4设总体服从指数分布 试利用样本求参数的极大似然估计. 解 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为 5设来自几何分布 ，试求未知参数的极大似然估计. 解 ， 解似然方程 ，得的极大似然估计 。 6. 设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。 证 （此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对任意的是的无偏估计。 7设总体，是来自的样本，试证估计量 ；， .都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证 故都是的无偏估计. , ， .所以最有效. 8设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计. 证 ， 证毕. 9从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13,