专题：椭圆的离心率c b 2一，利用定义求椭圆的离心率（ e =或 e2 = 1 - ）a a 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率 e =325xy222，椭圆+4m= 1的离心率为 12，则 m = 解析当焦点在 x 轴上时，4 - m = 1 m = 3 ； 当焦点在 y 轴上时，= 1 m = 16 ，m - 4m222316综上 m =或 3333，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是5x2y24，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆+= 1的离心率为 mn2n = 2m + n 22m = 2x2y22mn 0解析由n = m n n = 4 ，椭圆 m + n= 1的离心率为 2 12x2 + y 235，已知+mnx2= 1(m 0.n 0) 则当 mn 取得最小值时，椭圆 m2y 2n2 = 1 的的离心率为 26，设椭圆+a 2b2=1（ab0）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l11的距离，则椭圆的离心率是 。 2二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e则,631，在 RtD ABC 中， A = 90o ， AB = AC = 1，如果一个椭圆过 A、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 (e =-2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且BDB1 = 90o椭圆的离心率为()bb2解析 (- ) = -1 a - c2 = ac e =5 - 1ac233，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是- 1变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果3MF=MO，则椭圆的离心率是- 1x24,椭圆a2y2+b2=1(ab 0)的两焦点为 F1 、F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？c解 ：F1F2=2c BF1=c BF2= 3cc+3c=2a e= a=3-1 x2 y2 变式（1）：椭圆a2 +b2=1(ab 0)的两焦点为 F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,则OF2=OF1=OP,F1PF2 =90图形如上图，e= 3-1x2 y2 变式（2） 椭圆a2 +b2=1(ab 0)的两焦点为 F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 X 轴，PF2 AB,求椭圆离心率？b2PF1b解：PF1=a2=5c2e= a2 - c2aF2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB F2 F1= a又 b=变式(3):将上题中的条件“PF2 AB”变换为“ PO AB ( O 为坐标原点)”x2相似题：椭圆a2y2a2 + b2+b2=1(ab 0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，ABF=90，求 e?解 ：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2a2-c2-ac=0 两边同除以 a2e2+e-1=0 e=e=(舍去)x2变式(1):椭圆a2y2+b2=1(ab 0)，e=, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类 e=的椭圆为优美椭圆。性质：（1）ABF=90（2） 假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。（3） 焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 x 2y 2变式(2):椭圆+ b 2 = 1 (ab0)的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形 ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，2a5 - 1则椭圆的离心率 e =2提示：内切圆的圆心即原点，半径等于 c，又等于直角三角形 AOB 斜边上的高，由面积得：a 2 + b 2ab = r ，但 r = cx 2y2ab4，设椭圆 2 + 2 =（1 a b 0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，如果椭圆上存在点 P，使F1PF2 = 90 ，求离心率e 的取值范围。解：设P(x, y), F1 (- c,0), F2 (c,0)法 1：利用椭圆范围。a 2 c 2 - a 2 b 2a 2 (c 2 - a 2 )由F1P F2 P 得x 2 + y 2 = c 2 ，将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得x 2 =。a 2 - b 2e2由椭圆的性质知0 x 2 a 2 ，得以e，1）。22附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法 1 类似）法 2：判别式法。由椭圆定义知| PF |+| PF |= 2a | PF |2 +| PF |2 +2| PF | PF |= 4a 2 ，又因为F1PF2 = 90 ，121212可得| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 = 4c2 ，则| PF | PF |= 2(a2 - c2 ) = 2b 2 ，121 212222222 =c212PF1 ， PF2 是方程 z - 2az + 2b = 0 的两个根，则D = 4a- 8(a - c ) 0 e e a 222解法 3：正弦定理设记PF F = a，PF F = a，由正弦定理有 | PF1 | = | PF2 | = | F1F2 | | PF1 | + | PF2 | =| F F |1 22 1又因为| PF1 | + | PF2 |= 2a，| F1F2 |= 2c ，且a+ a= 90osinasinasin 90sina+sina1 2则e = c =1=1=1aasina+ sin asina+ cos2 sin(a+ )42aaa3a2aaQ 0 a2 a+ 444则 sin(a+ ) 1，1 242 sin(a+ ) 42所以 e b 0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 ,求椭圆的离心率 e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。F1F2解：由正弦定理：sin F1PF2根据和比性质：F1P= sin F1F2P =PF2sin PF1 F2F1F2sin F1PF2=F1P + PF2sinF1F2P + sin PF1F2 变形得：F1F2PF2 + F1Psin F1PF2 =sin F1F2P+ sin PF1F2 = 2c =e2asin90PF1F2 =75PF2F1 =15e=sin75 + sin15 =sin F1PF2点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1F2P+ sin PF1F2x2变式(2)：椭圆a2y2+b2=1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且F1PF2 =60，求椭圆离心率 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。sin F1PF2sin60 解：设F1F2P=，则F2F1P=120-e=sin F1F2P+ sin PF1F2=sin + sin(120 - )= 1112sin( + 30)22e b 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为右焦点，若3F1PF2 = 60o ，则椭圆的离心率 e 的值b2 ) ，再由F PF= 603b2= 2a, 从而得e = c =解析：因为 P(-c, a12x 2 + y 2o 有 aa3变式(4)：若 A, B 为椭圆a 2b 2 = 1(a b 0) 的长轴两端点， Q 为椭圆上一点，使AQB = 1200 ，求此椭圆离心率的最小值。x2变式(5)：8、椭圆a 2 e b 0)上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 AF BF ，设 a aABF = a，且a 12 , 4 ，则椭圆的离心率的取值范围为 解析：设 F 为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形 AFBF 为平行四边形且为矩形， AB = 2c ，AF = 2c sina, BF = 2c cosa