第二章2.4正态分布A级基础巩固一、选择题1已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩XN(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(C)A(90,110B(95,125C(100,120 D(105,115解析由于XN(110,52)，110，5因此考试成绩在区间(105,115，(100,120，(95,125上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974由于一共有60人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是：600.682641人，600.954457人，600.997460人故选C2(2018呼和浩特二模)有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N(100,132)P(61X139)0.997.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为(C)A10 B30C15 D23解析X近似服从正态分布N(100,132)，P(61X139)0.997P(X139)(10.997)0.0015，此次考试中成绩不低于139分的人数约为100000.001515故选C3如图是当取三个不同值1，2，3时的三种正态曲线，那么1，2，3的大小关系是(D)A11230 B0121230 D01213解析由正态曲线的特点知越大，其最大值越小，所以123，又，21.故选D4某厂生产的零件外直径XN(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为(C)A上、下午生产情况均为正常B上、下午生产情况均为异常C上午生产情况正常，下午生产情况异常D上午生产情况异常，下午生产情况正常解析根据3原则，在(830.15,830.15即(7.55,8.45之外时为异常结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常5某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(D)A10% B20%C30% D40%解析由条件知90，P(120)0.1，P(90120)12P(60)(10.2)0.4，故选D6以(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布N(，2)，则概率P(|)等于(B)A()() B(1)(1)C D2()解析设，则P(|)P(|1)P(11)(1)(1)故选B二、填空题7正态变量的概率密度函数f(x)e，xR的图象关于直线_x3_对称，f(x)的最大值为_8(2018凉山州模拟)已知离散型随机变量服从正态分布N(2,1)，且P(3)0.968，则P(13)_0.936_解析离散型随机变量服从正态分布N(2,1)，P(1)P(3)10.9680.032，P(13)1P(1)P(3)10.0320.0320.936故答案为0.9369已知正态分布N(，2)的密度曲线是f(x)e，xR.给出以下四个命题：对任意xR，f(x)f(x)成立；如果随机变量X服从N(，2)，且F(x)P(Xx)，那么F(x)是R上的增函数；如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；随机变量X服从N(，2)，P(X2)p，则P(0X2)12p其中真命题的序号是_.(写出所有真命题的序号)解析画出正态分布N(，2)的密度曲线如下图：由图可得：图象关于x对称；故正确；随着x的增加，F(x)P(Xx)也随着增加，故正确；如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；由图象的对称性，可得正确，故填：三、解答题10某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？解析设该工厂工人的月收入为，则N(500,202)，所以500，20，所以月收入在区间(500320,500320)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200(10.9974)12000.00263(人)B级素养提升一、选择题1设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是(C)AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析由图象可知12，12，P(Y2)P(X1)，B错；对任意实数t，P(Xt)P(Yt)，D错，P(Xt)P(Yt)，C正确，故选C2(2018德阳模拟)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16)试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为()参考数据：若XN(，2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974.(A)A0.13% B1.3%C3% D3.3%解析由正态分布N(78,16)，可得78，4，则P(66X90)P(7834X7834)0.9974P(X90)(10.9974)0.0013即估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为0.13%故选A二、填空题3(2018黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝假设每天到西江苗寨的游客人数是服从正态分布N(2000,10000)的随机变量则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为_0.1587_.(参考数据：若服从N(，2)，有P()0.6826，P(22)0.9544，P(33)0.9974)解析服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，)内取值的概率分别为0.6826，随机变量服从正态分布N(2000,1002)，每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为(10.6826)0.1587，故答案为0.15874设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量(单位为：元)，经统计得N(520,14 400)，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有_6826_辆(附：若N(，2)，则P()0.6826，P(22)0.9544，P(33)0.9974)解析由已知得：520，120，P(400640)P(5201205)P(55)显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案6某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，2)(满分为100分)，已知P(X75)0.3，P(X95)0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间80,85)，85,95)，95,100内各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间75,85的人数为，求随机变量的分布列和数学期望E()解析(1)P(80X85)P(X75)0.2，P(85X95)P(X85)P(X95)P(X75)P(X95)0.30.10.2，所以所求概率PA0.20.20.10.024(2)P(75X85)12P(X75)0.4，所以服从二项分布B(3,0.4)，P(0)0.630.216，P(1)30.40.620.432，P(2)30.420.60.288，P(3)0.430.064，所以随机变量的分布列是：0123P0.2160.4320.2880.064E()30.41.2(人)C级能力拔高某砖瓦厂生产的砖的抗断强度X服从正态分布N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？解析解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合3原则，若符合，则认为这批砖合格，否则不合格因为30，0.8，所以容易计算3和3欲判定这批砖是否合格，关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间(3，3内，还是在区间(3，3外由于在一次试验中X落在区间(3，3内的概率为0.9974，故X几乎必然落在上述区间内于是把30，0.8代入，得33030.827.6，33030.832.4，即算出的区间(3，3(27.6,32.4，而27.5(27.6,32.4，所以据此认为这批砖不合格1