第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记9个合格品分别为 ，记不合格为次，则(2)记2个白球分别为，3个黑球分别为，4个红球分别为，。则，() ， () ，1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述的意义。(2)在什么条件下成立？(3)什么时候关系式是正确的？(4) 什么时候成立？解 (1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。(2) 等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；1.4 证明下列各式：(1);(2)(3);(4)(5)(6) 证明 （1）（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第1012页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。于是 。1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。1.7 一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解 用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以-1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 (1) 答案为。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是（）1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是 (2) 根草的情形和(1)类似得1.13 把个完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为， (2)恰好有个盒的概率为，(3)指定的个盒中正好有个球的概率为， 解 略。1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。 解 所求概率为1.15 在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。解 截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概率为。1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为1.17 在线段上任取三点，求：(1) 位于之间的概率。(2) 能构成一个三角形的概率。解 (1) (2) 1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为（均小于），求三角形与平行线相交的概率。解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。分别用表示边，二边与平行线相交，则显然，。所以 （用例1.12的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，则样本空间，并且， ， 甲取胜的概率为+ 乙取胜的概率为+1.21 设事件及的概率分别为、及，求，解 由得 ，1.22 设、为两个随机事件，证明： (1) ;(2) .证明 (1) =(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23 对于任意的随机事件、，证明：证明 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。(1) =30% (2) (3) +=+=73%(4) (5) (6) 1.26 某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用表示“第张考签没有被抽到”， 。要求。， 所以1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。则 ，所以1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，则 1.30 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取产品都是不合格品”，则 (2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”， 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则 1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率； (2)第个人摸到的概率。解 设表示“第个人摸到”， 。 (1) (2) 1.32 已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。解 用表示“母鸡生个蛋”， 表示“母鸡恰有个下一代”，则 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用表示“任选一名射手为级”， ，表示“任选一名射手能进入决赛”，则1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用表示“任取一只产品是甲台机器生产” 表示“任取一只产品是乙台机器生产” 表示“任取一只产品是丙台机器生产” 表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯公式： 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 则 ， ， ， 由贝时叶斯公式得 1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解 用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。 则 1.37 证明：若三个