数学立体几何练习题 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A相交 B平行 C垂直 D不能确定2将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD中点，则的大小为（ ）A. B. C. D.3PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（ ）AB。C。D。4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是AB。C。D。5在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（ ）A B C D6在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（）ABCD7在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）A.60B. 90 C.105 D. 758设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D6二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分ABMDC9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_.10如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点， 那么点M到截面ABCD的距离是 . 11正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 12已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 .13已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 14棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为_.三、 解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.xyzB1C1A1CBAMN15如图，直三棱柱，底面中，CACB1，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点(1) 求BM的长； (2) 求的值； (3) 求证：16如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (1) 求证：AB平面PCB； (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小； (3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值QPDCBA17如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且PA=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQQD？（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQQD时，求二面角Q-PD-A的余弦值大小18. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点E在上，且:2:1CDBAPE(1) 证明 平面；(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论19. 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；(2)求点D到平面PBG的距离；PAGBCDFE(3)若F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值20.已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；(3)当的值为多少时，二面角BSCD的大小为120？理科立体几何训练题（B）答案一、 选择题题号12345678答案BDDADBBC二、 填空题9. 10 11. 45 12 13 14 三、解答题15解析：以C为原点建立空间直角坐标系.xyzB1C1A1CBAMN(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）.(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.16解析： (1) PC平面ABC,平面ABC，PCAB.CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (2 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（,），（0,0,0），C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)则=+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为 （3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)=(0, ,0),=(,2)，则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1) 由PC平面ABC易知：平面PAC平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则为平面PAC的一个法向量，故平面PAC的法向量也可取为n= (1，1，0) =. 二面角C-PA-B的大小的余弦值为zQPDCBAyxMN17解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a，P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）（2）设点Q（1，x，0），则由，得x2-ax+1=0显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQQD，故只须=a2-40因a0，故a的取值范围为a2（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点取AD的中点M，过M作MNPD，垂足为N，连结QM、QN则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）D、N、P三点共线，又，且，故于是故，（资料来源：www.maths168.com）MNQ为所求二面角的平面角，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得；（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以，设点F是棱上的点，其中，则令得解得，即时，亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，平面19解析：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、PAGBCDFEz轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)， (0，2，4)。，GE与PC所成的余弦值为 (2)平面PBG的单位法向量n(0，1，0) ，点D到平面PBG的距离为n |. (3)设F(0，y，z)，则。，（资料来源：www.maths168.com）即， , 又，即(0，z4)(0，2，4)， z=1，故F(0，1) ，。20解析：(1)SA平面ABCD，BD平面ABCD，SABD，四边形ABCD是正方形，ACBD，BD 平面SAC，BD平面EBD，平面EBD平面SAC.(2)设ACBDF，连结SF，则SFBD，AB2，SA4，BD2，SF3，SSBDBDSF236，设点A到平面SBD的距离为h，SA平面ABCD，SSBDhSABDSA，6h224，h，即点A到平面SBD的距离为.(3)设SAa，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，(1,1，a)，(1,0，a)，(0,1，a)，再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则y10，从而可取x1a，则z11，n1(a,0,1)，x20，从而可取y2a，则z21，n2(0，a,1)，cosn1，n2，要使二面角BSCD的大小为120，则，从而a1，即当1时，二面角BSCD的大小为120.