第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1 ；2；3。判断下列正项级数的敛散性4；5；6；7；8；9；10。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11；12；13；14；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15；16；17；18；19；20；求下列级数的和函数21；22；将下列函数展开成的幂的级数23，；24，；25，；26，；将下列函数在区间上展开为付里叶级数27，。28，29将函数展开成付里叶级数。30将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。(B)用定义判断下列级数的敛散性1；2；3；判断下列正项级数的敛散性4；5；6，()；7，其中()，均为正数；8，()；9；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛10；11；12；求下列幂级数的收敛半径和收敛域13；14，(,)；15；16；求下列级数的和函数17；18；19；20求证：；将下列函数展开成的幂的级数21，；22，；23，；24证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25写出函数，的付里叶级数，并讨论收敛情况。26设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将展开成付里叶级数。27将函数，()分别展开成正弦级数和余弦级数。(C)1用定义判断下列级数的敛散性2设，判断级数的敛散性。判断下列正项级数的敛散性3；4；5；6判断级数的敛散性。求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7；8；求下列级数的和910展开为幂级数，并推出。11求级数的收敛区间及和函数。12设函数，试分别将展成为以为周期的区弦级数和余弦级数。13将周期函数，展为付氏级数，并据此求周期函数，的付氏级数，求下面级数。第十一章 无穷级数(A)1解：，(),原级数发散。2解：，()，原级数收敛且和为。3解： ，()，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数发散。5解：，由比值判别法知，原级数收敛。6解：，原级数发散。7解：，而发散，由比较判别法知原级数发散。8解：，由比值判别法知，原级数收敛。9解：，由比值判别法知，原级数收敛。10解：，而，故，由比值判别法知，原级数收敛。11解：，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12解：，而发散，故发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然，且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13解：，原级数发散。14解：此为交错级数，()而级数发散，故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15解：，当时，级数为发散，当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。16解：，收敛区间为。17解：，。18解：，。故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散。故收敛区间为。19解：，当时，即时收敛，当，即或时发散，。当时原级数为，发散，故收敛区间为。20解：，当时，原级数，发散。故收敛区间为。21解：设，。22解：设，则 ，即，。23解：，。24解： ，。25解：， 。26解：，即27解：为偶函数， ，令，得，且在上连续，。28解：由于是奇函数，故， 。29解： ，时，。 时， ，所以除上均成立。30解：1）正弦级数，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，计算付氏系数如下：，() ,.2)余弦函数作偶延拓设，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，计算付氏系数如下： ,.(B)1解：, ，原级数收敛且和为。2解：，原级数收敛且和为。3解：，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数收敛。5解：，由根值判别法知原级数收敛。6解：当充分大时有，而，故，由根值判别法知原级数收敛。7解：，当，即 时，原级数收敛；，即 ，原级数发散，当时不定。8解：当时，级数发散。 当时，()，而收敛，级数发散。9解：，收敛，由比较判别法知级数收敛。10解：，故也发散，故也非条件收敛。11解：，而发散，故级数发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12解：，而发散，发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为为交错级数，又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。13解：，故对，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为。14，当时，原级数发散，故收敛区间为，其中。15解：，当，即时，原级数收敛，当，即或时，原级数发散，当，原级数收敛，当时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2，收敛区间为。16解：，当，即，原级数收敛。当时，原级数收敛，当时，原级数发散。故原级数的收敛区间为。17解：，但 ，故有，。18解：，而 ，。19解：， ，故，。20证明：考虑级数，逐项微分得：，。，取，得。21解：， 。，。22解： ，()。23解： ，。25解： ，。由于对，有，所以。因此 以周期的周期函数，并且显然只有当，时是及 第一类间断点，所以符合狄利克雷收敛定理的条件，故付氏级数在处处收敛， ，有。26解：奇函数，所以。 所以，除均成立，()。27解： 又函数展成正弦级数为，又 展开成余弦级数为，。(C)1解： ,故原级数收敛，且和为。2证：，由比较判别法知原正项级数收敛。3解：，由比值判别法知，原级数发散。4解：考虑函数，由得，易知时的最大值，所以当地，但为收敛的几何级数，原级数也收敛。5解：，有；而当时，有，当时，而级九可判别其是收敛的，原级数收敛。6解：因为已知级数 条件收敛的级数。设其部分和数极限为，则有，而级数，取其前项，其和与的部分和相等且为，当时，故原级数收敛且和为。7解：，当，即时，收敛；当时发散。故，当时，级数为发散，故原级数收敛域为。8解：，由于，而当，故；当时，原级数为，由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为。9解：当时，级数收敛。设，则，两边积分得：，()；再积分一次 ，()；，即原级数的和。10解：， 因为当时，又当时，故展开式对所有的均成立，在展开式中令，得。11解：，()，故当，即当时级数收敛，当时级数发散，因此原级数收敛区间为，且 ，。12解：先求正弦级，将在作奇延拓，有， 由狄里赫勒收敛定理知，再求余弦级数，将在作偶延拓，有 ， ，13解： 所以 时，代入上式有，即求得和式，且，。20