.高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题 下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等 A. ， B. ， C. ， D. ， 设函数的定义域为，则函数的图形关于（ C ）对称 A. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. 下列函数中为奇函数是（ B ） A. B. C. D. 下列函数中为基本初等函数是（ C ） A. B. C. D. 下列极限存计算不正确的是（ D ） A. B. C. D. 当时，变量（ C ）是无穷小量 A. B. C. D. 点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量 若函数在点满足（ A ），则在点连续。 A. B. 在点的某个邻域内有定义 C. D. 二、填空题 函数的定义域是 已知函数，则 若函数，在处连续，则 函数的间断点是 若，则当时，称为 无穷小量三计算题 设函数求：解：点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。 求函数的定义域 解：欲使函数有意义，必使，即： 亦即：解得函数的定义域是： 点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。 在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数 解：设梯形的高CM=x，则 梯形的上底，下底 则梯形的面积 求 解：原式= 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。 求 解：原式= 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。 求 解： 点评：同上。 求 解：原式= 点评：同上。 求 解：原式= 求 解：原式= 设函数讨论的连续性，并写出其连续区间点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。解：先看函数在分段点处的情况， ，故不存在。为函数的间断点。再看函数在分段点处的情况， ，故。又因为所以故是函数的连续点。函数在连续区间是：。高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题设且极限存在，则（B） A. B. C. D. 设在可导，则（D） A. B. C. D. 设，则（A） A. B. C. D. 设，则（D） A. B. C. D. 下列结论中正确的是（ C ） A. 若在点有极限，则在点可导B. 若在点连续，则在点可导 C. 若在点可导，则在点有极限 D. 若在点有极限，则在点连续（二）填空题 设函数，则0 设，则 曲线在处的切线斜率是 曲线在处的切线方程是 设，则 设，则 （三）计算题 求下列函数的导数：解： =解： =解：解： =解： =解： =解： =解： = 求下列函数的导数：解：解：解：因为 所以 解：因为 所以 解：解： =解： = =解：设 =解：设 = 在下列方程中，是由方程确定的函数，求：解：将方程两边对x求导： =移项 所以：解：将方程两边对x求导： 移项 所以：解：解：因为： 解得 解：将方程两边对x求导： 整理得： 解：将方程两边对x求导：整理得：解：将方程两边对x求导：整理得：解：将方程两边对x求导：整理得：求下列函数的微分：解：因为 =所以 解：因为 = 所以 dy=dx解：设 则 = = 所以 dy=dx解：设: 则 = = 所以 dy=dx 求下列函数的二阶导数：解： 解： =解： 解： （四）证明题 设是可导的奇函数，试证是偶函数证明：因为是奇函数，所以又因为可导，函数为复合函数。对两端对x求导，得：即所以：根据偶函数的定义，是偶函数。高等数学基础第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题 若函数满足条件（D），则存在，使得 A. 在内连续B. 在内可导 C. 在内连续且可导D. 在内连续，在内可导 函数的单调增加区间是（D） A. B. C. D. 函数在区间内满足（A） A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 函数满足的点，一定是的（C） A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设在内有连续的二阶导数，若满足（ C ），则在取到极小值 A. B. C. D. 设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ） A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 设函数在点处取得极大值，则（ 1 ） A. B. C. D. （二）填空题 设在内可导，且当时，当时，则是的 极小值 点 若函数在点可导，且是的极值点，则 0 函数的单调减少区间是 函数的单调增加区间是 若函数在内恒有，则在上的最大值是f(a) 函数的拐点是 (0,2) 若点是函数的拐点，则 1 ，（三）计算题 求函数的单调区间和极值解： 得驻点：x= -1 x=5 x=x15Y0+00+y左端点极大极小在内单调上升，在内单调下降。极大值是 极小值是求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值解： 得驻点x=1又当x=0 x=2时 无意义，但原函数连续f(0)=0 f(1)= 1 f(2)=0 f(3)= x0123Y无意义+0无意义+y0极大值f(1)=1极小值f(2)=0最小值f(0)=f(2)=0 最大值是f(3)= 极大值f(1)=1 极小值f(2)=0 试确定函数中的，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点 解：的图形过点和点，且是驻点，是拐点 a=1 b= -3 c= -24 d=16求曲线上的点，使其到点的距离最短解：设曲线上的点，即到A的距离记为d则 （唯一）当 时 即点到（2，0）的距离最短。圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设圆柱体的底面半径为,高为，则 时，圆柱体的体积最大。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设圆柱体的底面半径为,高为， 则 当 时，圆柱体的表面积最小。欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底面正方形的边长为x米，长方体的高为h米，则 容积 62.5= 表面积： x=5 (米)时用料最省。从面积为的所有矩形中，求其周长最小者解：设矩形的边长为x米，宽为y米， 周长 （唯一驻点） 则当长为，宽为时，其周长最小。 x 从周长为的所有矩形中，求其面积最大者解：设矩形的边长为x米，宽为y米，则 面积 （唯一驻点） 则当长为，宽为时，其面积最大。 x （四）证明题当时，证明不等式证明 利用函数的单调性证明 设 在内