初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分） 1如果a，b都代表有理数，并且ab=0，那么 ( ) Aa，b都是0Ba，b之一是0Ca，b互为相反数Da，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=2，满足2+(2)=0，由此a、b互为相反数。2下面的说法中正确的是 ( ) A单项式与单项式的和是单项式B单项式与单项式的和是多项式C多项式与多项式的和是多项式D整式与整式的和是整式答案：D解析：x，x3都是单项式两个单项式x3，x之和为x3+x是多项式，排除A。两个单项式x，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。3下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数B没有最小的正有理数C没有最大的负整数D没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4如果a，b代表有理数，并且ab的值大于ab的值，那么 ( ) Aa，b同号Ba，b异号Ca0Db0答案：D5大于并且不是自然数的整数有 ( ) A2个B3个C4个D无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在右边0的左边（包括0在内）的整数只有3，2，1，0共4个选C。6有四种说法： 甲正数的平方不一定大于它本身；乙正数的立方不一定大于它本身； 丙负数的平方不一定大于它本身；丁负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A0个B1个C2个D3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。7a代表有理数，那么，a和a的大小关系是 ( ) Aa大于aBa小于aCa大于a或a小于aDa不一定大于a 答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。8在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A乘以同一个数B乘以同一个整式C加上同一个代数式D都加上1 答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x2=0，易知其根为x=2若该方程两边同乘以一个整式x1，得(x1)(x2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D 9杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A一样多B多了C少了D多少都可能答案：C解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a(110%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)(1+10%)=0.91.1a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 0.991，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。 10轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A增多B减少C不变D增多、减少都有可能答案：A二、填空题（每题1分，共10分） 11989199019891989=_。答案：1989199019891989 =(19891990+19891989)(1989199019891989) =(19891990+19891989)1=39783979。解析：利用公式a-b=（a+b）(a-b)计算。21234+56+78+49995000=_。 答案：12+34+56+78+49995000 =(12)+(34)+(56)+(78)+(49995000) =2500。解析：本题运用了运算当中的结合律。3当a=0.2，b=0.04时，代数式 a-b的值是_。 答案：0解析：原式=(0.2)0.04=0。把已知条件代入代数式计算即可。4含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是_克。 答案：45000（克）解析：食盐30%的盐水60千克中含盐6030%（千克），设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，6030%=(0.001x)40% 解得：x=45000（克）。 遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。三、解答题1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的，乙每月比甲多开支100元，三年后负债600元，求每人每年收入多少？答案： 解得，x=5000答：每人每年收入5000元。所以S的末四位数字的和为1995=24。4一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。答案：设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米依题意则：由有2x+y=20， 由有y=12-x，将之代入得 2x+12-x=20。所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。答：上坡路程为8千米，下坡路程为4千米。5求和：。答案：第n项为所以。6证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数。证明：设p=30qr，0r30，因为p为质数，故r0，即0r30。假设r为合数，由于r30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5。再由p=30qr知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾。所以，r一定不是合数。 解：设由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)。可知m4由，m0，且为整数，所以m=1，2，3下面分别研究p，q。(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解(3)若m=3时，有解之得故pq=8。奥数题二一、选择题1数1是 ( ) A最小整数B最小正数C最小自然数D最小有理数答案：C解析：整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D。1是最小自然数，正确，故选C。2.a为有理数，则一定成立的关系式是 ( ) A7aaB7+aaC7+a7D|a|7 答案：B解析：若a=0，70=0排除A；7+0=7排除C；|0|7排除D，事实上因为70，必有7+a0+a=a选B。3.3.14167.5944+3.1416(-5.5944)的值是 ( ) A6.1632B6.2832C6.5132D5.3692答案：B解析：3.14167.5944+3.1416(-5.5944) =3.1416(7.5944-5.5944)=23.1416 =6.2832，选B。4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) A225B0.15C0.0001D1答案：B解析：-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)(-15)=0.15，选B。二、填空题 1计算：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=_。答案：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=(-2)-(-1) =-1 。2.求值：(-1991)-|3-|-31|=_。答案：(-1991)-|3-|-31|=-1991-28=-2019。3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于_。答案：4解析：1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4。4.不超过(-1.7)的最大整数是_。答案：2解析：(-1.7)=2.89，不超过2.89的最大整数为2。5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是_。答案：29解析：个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数。 三、解答题1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值。答案：原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=2003。2某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？答案：原来每天可获利4100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4x)元，但每天卖出为(100-10x)件。如果设每天获利为y元，则y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490。所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大为490元。3如图196所示，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90。求证：DAAB。证明：CE平分BCD，DE平分ADC及12=90，ADCBCD=180， ADBC。又 ABBC， ABAD。4.求方程xy-2x+y=4的整数解。答案：xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2。因为x10，且x，y都是整数，所以5.王平买了年利率7.11的三年期和年利率为7.86的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22)答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20