第一章 绪论1设,的相对误差为，求的误差。解：近似值的相对误差为而的误差为进而有2设的相对误差为2%，求的相对误差。解：设，则函数的条件数为又, 又且为23下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：, , ,解：是五位有效数字；是二位有效数字；是四位有效数字；是五位有效数字；是二位有效数字。4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .其中均为第3题所给的数。解：5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为则何种函数的条件数为又故度量半径R时允许的相对误差限为6设，按递推公式 （n=1,2,）计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？解： 依次代入后，有即，若取, 的误差限为。7求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。解：，故方程的根应为故 具有5位有效数字具有5位有效数字8当N充分大时，怎样求？解 设。则9正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？解：正方形的面积函数为.当时，若,则故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过10设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解： 当增加时，的绝对误差增加当增加时，保持不变，则的相对误差减少。11序列满足递推关系 (n=1,2,),若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：又 又 计算到时误差为，这个计算过程不稳定。12计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？, , ， 。解：设，若，则。若通过计算y值，则若通过计算y值，则若通过计算y值，则通过计算后得到的结果最好。13,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。计算，求对数时误差有多大？解, 设则故若改用等价公式则此时，第二章 插值法1当时，,求的二次插值多项式。解：则二次拉格朗日插值多项式为 2给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，若采用线性插值法计算即，则 若采用二次插值法计算时， 3给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当时，令取令则当时，线性插值多项式为插值余项为又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。总误差界为4设为互异节点，求证：（1） （2） 证明（1） 令若插值节点为，则函数的次插值多项式为。插值余项为又 由上题结论可知得证。5设且求证：解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为 =插值余项为6在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即若截断误差不超过，则7若，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 8如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。解：函数的展式为其中又是次数为的多项式 为阶多项式为阶多项式依此过程递推，得是次多项式是常数当为正整数时，9证明证明 得证10证明证明：由上题结论可知得证。11证明证明 得证。12若有个不同实根，证明：证明：有个不同实根且令则而 令则又得证。13证明阶均差有下列性质：（1）若，则（2）若，则证明：（1） 得证。 + 得证。14求及。解：若则15证明两点三次埃尔米特插值余项是 解：若，且插值多项式满足条件插值余项为由插值条件可知且可写成其中是关于的待定函数，现把看成上的一个固定点，作函数根据余项性质，有由罗尔定理可知，存在和，使即在上有四个互异零点。根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，依此类推，在内至少有一个零点。记为使又其中依赖于分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即在小区间上 16求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中，A为待定常数从而17设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。解：若则步长在小区间上，分段线性插值函数为 各节点间中点处的与的值为当时，当时，当时，当时，当时，误差又令得的驻点为和18求在上分段线性插值函数，并估计误差。解：在区间上，函数在小区间上分段线性插值函数为误差为19求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在区间上，令函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为误差为又20给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：解：由此得矩阵形式的方程组为 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程组得三次样条表达式为将代入得由此得矩阵开工的方程组为求解此方程组，得又三次样条表达式为将代入得21若是三次样条函数，证明：若，式中为插值节点，且，则证明：从而有第三章 函数逼近与曲线拟合1 ，给出上的伯恩斯坦多项式及。解：伯恩斯坦多项式为其中当时，当时，2 当时，求证证明：若，则 3证明函数线性无关证明：若分别取，对上式两端在上作带权的内积，得此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解a=0。函数线性无关。4。计算下列函数关于的与：m与n为正整数，解：若，则在内单调递增若，则若m与n为正整数当时,当时,在内单调递减当时,在内单调递减。若当时，在内单调递减。5。证明证明：6。对，定义问它们是否构成内积。解：令（C为常数，且）则而这与当且仅当时，矛盾不能构成上的内积。若，则,则若，则,且即当且仅当时，.故可以构成上的内积。7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：若，则令，则，且，故又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且是在上带权的正交多项式。又8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式解：若，则区间上内积为定义，则其中9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多项式。证明：若令，可得当时，当时，又，故得证。10。证明切比雪夫多项式满足微分方程证明：切比雪夫多项式为从而有得证。11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？解：在闭区间上连续存在，使取则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知P为的零次最佳一致逼近多项式。12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？解：令则在上为奇函数又的最高次项系数为1，且为3次多项式。与0的偏差最小。从而有13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：于是得的最佳一次逼近多项式为即误差限为14。求在上的最佳一次逼近多项式。解：于是得的最佳一次逼近多项式为15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。解：令，则且令，则若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足当时，多项式与零偏差最小，故进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。解：若且，则则法方程组为解得故关于的最佳平方逼近多项式为17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式：解：若且，则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且，则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且，则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且则有则法方程组为从而解得故关于最佳平方逼近多项式为18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。解：按勒让德多项式展开则从而的