江西师范大学09届学士学位毕业论文高中数学中轨迹方程的求解方法探讨 万依依探觅曲线的轨迹方程是解析几何的一个基本问题, 这方面的试题能够全面考查学生的数学能力和数学思想, 从而成为历届高考命题的热点之一.解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一。从近几年的高考来看,圆锥曲线简答题也基本上考查了圆锥曲线方程的求法,求曲线的轨迹方程的方法很多, 概括地讲, 其解题方法主要有: 直接法、定义法、转移法、点差法、向量法、几何法、参数法等七种方法。一、 直接法直接法也叫直译法,若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系, 或这些几何条件简单明确且易于表达, 则只需直接把种关系“ 翻译” 成动点坐标: 的关系式, 经化简所得等式即为所求的轨迹方程.例1 一个动点到的距离等于它到 的距离的 倍, 求这个动点的轨迹方程.解: 设为所求轨迹上的任一点, 则有 化简整理得: 即为所求轨迹方程。例2 与圆外切与点，且半径为的圆的方程。解: 设所求圆心为，则, 因为圆的半径为，所以所求圆的方程为二、 定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等), 可用定义探求解题的切人点.应注意定义中的“ 和”与“差”与两定点之间的距离的大小比较, 这也是判定轨迹的前提条件.例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两个点求椭圆方程。解：设椭圆方程为， 椭圆经过点，点适合椭圆方程，从而有解得所求椭圆方程为例4 若抛物线的焦点为, 准线为 , 求抛物线的方程.解: 设为抛物线上任一点, 焦点为,则由抛物线的定义, 有 , 即 化简可得 三、 转移法转移法也叫相关点法. 当题设中给出了动点和已知曲线的关系时, 可根据这种关系将已知曲线上点的坐标用动点的坐标表示出来, 并代人已知曲线的方程, 消去参数, 即可得动点的轨迹方程.例5 设定点，动点在圆上运动，以为两边作平行四边形,求点的轨迹。解：设则线段的中点坐标为，线段的中点坐标为。因为平行四边形对角线互相平分，故 则有，则。又点在圆上，故，但应出去两点例6 圆与圆的半径都是,过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。解：如图所示，已直线为轴，线段为轴，建立平面直角坐标系，则 设动点，由题意得同理可得 即所以动点的轨迹方程是即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆。四、 点差法若轨迹问题中涉及到中点弦问题,就可考虑点差法.只要通过代点作差, 并以中点弦的斜率为桥梁, 即可获得动点的轨迹方程.例7 已知椭圆方程为点的坐标满足过点的直线与椭圆交于两点，为中点，求点的轨迹方程。解：设。当时，在椭圆上， -整理得 又直线过点，得而当时，的斜率不存在，此时直线平行于轴。中点必在轴上，即显然满足方程，综上，点的轨迹方程为。例8 过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程。解：设以点为中心的弦的短点坐标为则有 ， ， ， ， .将带入（-）得 ，弦所在直线的方程为即。五、向量法利用题设条件中的某些向量之间的关系,特别是垂直与共线的某些关系, 使之与动点 的坐标发生联系, 从而求出其关系式.例9 如图所示，已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且且(),试求点的轨迹方程。 解：（)，三点共线，又即是在上的射影。在以为直径的圆上，圆心为，的轨迹方程为，即例10 如图所示，轴的定点，是坐标平面上的动点，点在线段上，点在线段上，并且（为原点），求点的轨迹方程。 解： 是的中点，且即是的垂直平分线， , 点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，又且,点的轨迹方程为 六、 几何法通过充分挖掘动点的轨迹所包含的“平几”关系, 以这些关系为桥梁, 建立动点的轨迹方程。例11 如图所示，设动点到点和的距离分别为和，且存在常数使得，证明动点的轨迹为双曲线，并求的方程。 解：在中，,则 4=即（常数），故动点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，方程为例12 设椭圆方程为抛物线方程为如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点，求满足条件的椭圆方程和抛物线方程。 解：由得当时得 点的坐标为过点的切线方程为即令得点的坐标为由椭圆方程得点的坐标为，即即椭圆和抛物线的方程分别为.七、参数法当动点 的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用 表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的轨迹的普通方程，这种方法称为参数法；但要注意方程的等价性，即由的范围确定出的范围例13 已知椭圆直线：是上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是说明曲线。 解：由题意可知点不在原点，设的坐标分别为其中 不同时为。设与轴正方向的夹角为，则有 点在直线上，点在椭圆上，得 两边同时乘以得 整理得点的轨迹方程为（其中不同时为0）。 点的轨迹是以为中心，长短半轴分别为和且长轴与轴平行， 去掉坐标原点的椭圆。作为高考压轴题的圆锥曲线, 其解答过程计算量较大, 对运算能力要求也较高, 是同学们较怕、也容易出现错误的地方, 因此, 寻求简捷、合理的运算途径尤为重要。上述七种探求轨迹方程的方法并不是孤立的,解决同一个问题往往需要几种方法并用或同一个问题有几种不同的解法。方法的选取应视题目的结构特征, 具体问题具体对待, 只有这样才能做到“ 心有灵犀一点通” , 找到最优解法, 提高解题速度。参考文献：1李盘喜.高中数学解题题典M.东北:东北师范大学出版社，2012.2吕佐良.探求轨迹方程十法J.试题与研究，2008.3蒋明权.探觅曲线的轨迹方程的十一种求法J.数理化学习（高中版），2008.4黄荣清.浅谈高中数学中轨迹方程的求解方法J.基础教育论坛，2012.5游建平.求轨迹方程的常用技巧J.中学生时代，2007.6王迎春.突破高考中圆锥曲线压轴题锦囊妙计J.高中数理化，2010.7刘和玲.圆锥曲线高考题型分析J.中学数学月刊，2012.8徐玉明.浅述解析几何中轨迹方程的求解J.成才之路，2007.9祝仰河.利用相关点法例求圆锥曲线特殊点的轨迹方程J.数学学习与研究, 2011.10Seethe M P L Farina A. A Modified M/N Logic for Track Initiation of Low Targets Using Amplitude informationJ.RadarSymposium,2006.TRS International.2006 意见：1. 每个自然段的开头要退两个汉字，排版应按论文的格式要求进行排版；2. 论文要有一定的严谨性。比如某某法的名词解释、应用举例（含典型例题、新颖题型、综合题型、创新题型）、注意点等，每种方法尽量要论述完整；3. 页码一般不用罗马数字；4. 数学符号绝大多数符合要求，个别的有点不规范，还有字符上浮现象，都应改正；5. 缺乏个人独到的见解，缺乏前瞻性；6. 容量少，字数不够；7. 论文的结构尚可。II