2020.72020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）理科数学一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 62. 复数的虚部是A. B. C. D. 3. 在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A. B. C. D. 4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数。当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）A. 60B. 63C. 66D. 695. 设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线交于D、E两点，若，则C的焦点坐标为A. B. C. D. 6. 已知向量a、b满足，则A. B. C. D. 7. 在中，则A. B. C. D. 8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A. B. C. D. 9. 已知，则A. -2B. -1C. 1D. 210. 若直线l与曲线和圆都相切，则l的方程为A. B. C. D. 11. 设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为。P是C上一点，且。若的面积为4，则a =A. 1B. 2C. 4D. 812. 已知，。设，则A. B. C. D. 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 若x、y满足约束条件则的最大值为_。14. 的展开式中常数项是_（用数字作答）。15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_。16. 关于函数有如下四个命题：的图像关于y轴对称。的图像关于原点对称。的图像关于直线对称。的最小值为2。其中所有真命题的序号是_。三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一） 必考题：共60分。17. （12分）设数列满足。（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前n项和。18. （12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0,200(200,400(400,6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次 400人次 400空气质量好空气质量不好附：，19. （12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE = ED1，BF = 2FB1。（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB = 2，AD = 1，AA1 = 3，求二面角AEFA1的正弦值。20. （12分）已知椭圆的离心率为，A、B分别为C的左、右顶点。（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x = 6上，且，求的面积。21. （12分）设函数，曲线在点处的切线与y轴垂直。（1）求b；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1。（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。22. 选修：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，C与坐标轴交于A、B两点。（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。23. 选修：不等式选讲（10分）设。（1）证明：；（2）用表示的最大值，证明：。