数学必修五开 拓 教 育数 列 的 通 项 公 式数列是初等数学与高等数学的衔接点之一，一直是近几年高考中的热点问题之一，以较大的分值出现。递推公式是给出数列的一种方法，高考中以递推公式形式给出数列。它侧重考查学生的逻辑推理能力、创新能力和分析化归能力。以下是本人在教学实践中积累的由递推公式求数列通项的常用方法。一、累加法形如，若易求和，则可用累加法。例1：已知， ，求。解： 累加上式得：故（注：从式开始累加亦可）二、累积法形如，若易求，则可使用累积法。例2：已知， ，求通项。解：由已知即 则约分得： 三、构造法构造法是将非特殊数列通过递推式的结构特点，转化为特殊数列，常见有以下类型：类型1：形如，可转化为是等比数列。例3：已知， ，求通项。解：令 则 故是首项为1，公比为3的等比数列则 类型2：形如 ，可通过同除，将它转化为类型1。例4：已知，求通项。解：，两边同乘以，则故是以1为首项，公比为的等比数列故 类型3：形如，可将构造为等比数列。令：，再用待定系数法 求解出。此时是公比为的等比数列例5：已知，求。解：令则 解得 或（任取一组均可）取， 则：是首项为2，公比为2的等比数列则此时转化为了类型2，将上式两边同除以得：是首项为，公比为-等比数列=故类型4：形如，也可使用构造法例6：已知，求通知。解： 是首项为2，公比为2的等比数列。故：四、迭代法迭代法是解决递推公式求通项的通性通法，但要求善于挖掘运算规律，善于分析关系式的结构特点，累加法、累积法等许多方法都可由迭代法代替解决问题。例7（08全国卷2）设前n项和，已知，求通项公式。解：由故，故五、转化法类型1：对数转换法转化形如：，当各项为正时，可两边取常用对数，将构造为等比数列。例8：已知，求通项。解：各项为正两边取以10为底对数得是首项为1，公比为2的等比数列则故类型2：形如 ，可转化为的等差数列。例9：已知，求通项。解：已知，两边同除以得即是以为首项，为公差的等差数列。故，数列的递推公式形式多样，方法多样，无法一一列举，解题时易先观察结构特点，再结合已有方法，选择适当方法解决。数列的通项公式 第1页